Як знайти розв’язання

1. Прочитай, що саме треба знайти. У завданнях на дослідження функції часто просять: область визначення, нулі, проміжки знакопостійності, зростання/спадання, екстремуми, парність, асимптоти або правильне твердження про графік.
2. Почни з базового: область визначення й прості обмеження. Перевір, де вираз має зміст (нема ділення на нуль, підкореневий вираз не від’ємний, логарифм від додатного тощо). Це одразу відсікає неправильні варіанти.
3. Знайди ключові точки: нулі та “небезпечні” місця. Розв’яжи f(x)=0, а також познач точки, де функція не визначена або змінює вигляд (модуль, знаменник, корінь). Саме біля них часто змінюється знак або поведінка графіка.
4. Перевір поведінку на проміжках: знак і монотонність. Для знака склади таблицю знаків (або проаналізуй графік). Для зростання/спадання зазвичай беруть похідну: знайди f'(x), розв’яжи f'(x)=0, зроби висновок про знак f'(x) на проміжках.
5. Зроби фінальні висновки й звір із варіантами. Підсумуй: де зростає/спадає, де максимум/мінімум, чи парна/непарна, які асимптоти, як виглядає графік. Потім обери твердження, яке точно відповідає всім знайденим властивостям.

Приклади

• f(x)=1/(x−2). Знайти область визначення та вертикальну асимптоту — дивимось на знаменник: x−2≠0, отже x≠2. Область визначення: всі числа, крім 2. Там, де знаменник 0, маємо вертикальну асимптоту: x=2. Діти часто пишуть “x=2 входить у область визначення, бо це просто точка”, але правильніше: саме в цій точці функція не існує.
• f(x)=x²−9. Знайти нулі та проміжки знакопостійності — розв’язуємо f(x)=0: x²−9=0, (x−3)(x+3)=0, отже x=−3 або x=3. Далі дивимось знак на проміжках: при x=0 маємо −9 (від’ємно), значить між −3 і 3 функція від’ємна; поза цими точками (x<−3 або x>3) — додатна. Висновок: нулі −3 і 3; f(x)>0 на (−∞;−3)∪(3;∞), f(x)<0 на (−3;3).
• f(x)=|x−1|. Визначити, де функція спадає і де зростає — модуль “ламає” графік у точці x=1. Для x<1 маємо f(x)=1−x (це пряма зі спаданням), для x>1 маємо f(x)=x−1 (це пряма зі зростанням). Отже, спадає на (−∞;1], зростає на [1;∞). Діти часто думають, що модуль завжди “зростає”, але правильніше: він може спадати до вершини, а потім зростати.
• f(x)=x³−3x. Знайти проміжки зростання/спадання та екстремуми — беремо похідну: f'(x)=3x²−3=3(x²−1)=3(x−1)(x+1). Критичні точки: x=−1 і x=1. Перевіряємо знак f'(x): на (−∞;−1) додатний (зростає), на (−1;1) від’ємний (спадає), на (1;∞) додатний (зростає). Знаходимо значення: f(−1)=2 (локальний максимум), f(1)=−2 (локальний мінімум). Діти часто плутають: “якщо f'(x)=0, то це вже максимум”, але правильніше: треба перевірити зміну знака похідної або використати другу похідну.
• f(x)=x/(x²+1). Перевірити парність — обчислюємо f(−x)= (−x)/((−x)²+1)=−x/(x²+1)=−f(x). Отже, функція непарна, її графік симетричний відносно початку координат. Типова помилка: підставити −x лише в чисельник і “забути” про знаменник; правильніше: міняємо x на −x всюди.

Стратегії для тренування

• Тренуйся робити “швидкий скелет” дослідження: область визначення → ключові точки → таблиця знаків/похідної → висновок.
• Після кожного завдання коротко формулюй 3–4 факти про функцію (наприклад: D(f), нулі, де зростає, де спадає) — це вчить мислити системно.
• Звіряй формулу з графіком: подумай, де може бути асимптота, чи є симетрія, як поводиться при великих |x|.
• Розв’язуй “від зворотного”: візьми варіант відповіді й перевір, чи не суперечить він області визначення або монотонності.

Самоперевірка

• Чи правильно я знайшов(ла) область визначення і не забув(ла) про всі обмеження (знаменник, корінь, логарифм, модуль)?
• Чи позначив(ла) я всі ключові точки: нулі функції, точки розриву, точки, де f'(x)=0?
• Чи перевірив(ла) знак функції/похідної на кожному проміжку, а не “на око”?
• Чи збігаються мої висновки про зростання/спадання з екстремумами (максимум/мінімум у правильних місцях)?
• Якщо є варіанти відповіді: чи можу я відкинути кожен неправильний варіант конкретним фактом (D(f), нулі, асимптота, парність)?

Дослідження функції — це навичка, яка допомагає не просто “порахувати”, а зрозуміти поведінку формули: де вона існує, як змінюється, де перетинає осі та що показує графік.

Коли ти звикаєш працювати за алгоритмом, завдання ЗНО/НМТ стають передбачуваними: ти швидше знаходиш правильні твердження, менше плутаєшся в проміжках і впевненіше перевіряєш себе.