Як знайти розв’язання

1. Прочитай умову й знайди ключові слова. Якщо бачиш «вибрати», «обрати», «скласти команду», «набір», «без урахування порядку» — це підказка про комбінації.
2. Визнач n і k. n — скільки всього елементів є, k — скільки треба вибрати.
3. Перевір, чи порядок неважливий. Якщо набір {А,Б,В} та {В,Б,А} — це одне й те саме, тоді використовуємо комбінації.
4. Запиши формулу й обчисли. C(n,k)=n!/(k!(n−k)!) і скорочуй факторіали, щоб рахувати швидко та без великих чисел.
5. Оціни відповідь «на здоровий глузд». Переконайся, що C(n,k)=C(n,n−k), а також що відповідь не більша за 2^n і не від’ємна.

Приклади

• Із 10 учнів потрібно обрати 3 у команду — порядок неважливий, бо команда та сама, хоч кого назви першим; n=10, k=3; C(10,3)=10!/(3!7!)=(10·9·8)/(3·2·1)=120.
• Є 7 різних книжок, треба вибрати 2 для подарунка — це вибір набору, а не «перша/друга книжка»; n=7, k=2; C(7,2)=7!/(2!5!)=(7·6)/2=21. Діти часто думають, що треба 7·6=42, але це було б, якби важливий порядок (яка «перша», а яка «друга»).
• З 12 предметів учень обирає 5 для підготовки — знову набір без порядку; n=12, k=5; C(12,5)=12!/(5!7!)=(12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1)=792; зручно скорочувати: 10/5=2, 8/4=2, 9/3=3, 12/2=6, далі 6·11·2·3·2=792.
• Скількома способами можна вибрати 4 різні цукерки з 9 видів? — важливо лише, які види взяли, тому n=9, k=4; C(9,4)=9!/(4!5!)=(9·8·7·6)/(4·3·2·1)=126. Діти часто плутають і ділять не на 4!, а на 5!, але 5! тут відповідає (n−k)!, тобто тим, кого НЕ взяли.
• Із 8 людей треба обрати 6 у групу — можна рахувати прямо: C(8,6)=8!/(6!2!)=(8·7)/(2·1)=28; або помітити, що C(8,6)=C(8,2), бо «вибрати 6» те саме, що «не вибрати 2».

Стратегії для тренування

• Підкреслюй у кожній умові слова-маркери: «обрати», «набір», «без порядку» та окремо — «упорядкувати», «розсадити».
• Звикай одразу називати n і k вголос або записом: «n=…, k=…» — це зменшує плутанину.
• Тренуй скорочення факторіалів: спочатку скороти дроби, і лише потім перемножуй.
• Перевіряй себе через симетрію: якщо k велике, перерахуй як C(n,n−k) — так часто швидше.

Самоперевірка

• Я правильно визначив(ла), що порядок у задачі неважливий?
• Я чітко записав(ла) n (скільки всього) і k (скільки обираємо)?
• Я використав(ла) саме C(n,k), а не формули для розміщень чи перестановок?
• Я акуратно скоротив(ла) факторіали та не помилився(лася) в (n−k)?
• Я перевірив(ла) відповідь через C(n,k)=C(n,n−k) або приблизну оцінку?

Уміння знаходити кількість комбінацій допомагає швидко розв’язувати типові задачі ЗНО/НМТ: про вибір команди, набору предметів, варіантів подарунків чи складу групи. Коли ти правильно «читаєш» умову, половина розв’язання вже зроблена.

Чим більше практики з C(n,k), тим менше часу йде на обчислення та тим рідше трапляються прикрі помилки з порядком і факторіалами. А це саме те, що потрібно на іспиті, де важливі і швидкість, і точність.