Як знайти розв’язання

1. З’ясуй, що саме шукаємо. Область значень — це всі можливі значення y, які може набувати функція.
2. Перевір область визначення. Подивись, які x дозволені: у дробі знаменник ≠ 0, під коренем ≥ 0, для логарифма аргумент > 0 тощо.
3. Проаналізуй формулу або графік. Якщо є квадрат, модуль, корінь — одразу думай про «не менше нуля» та про мінімум/максимум; якщо є дріб — шукай «заборонені» значення y через перетворення.
4. Знайди межі та екстремуми. Для квадратичної — вершина параболи; для виразу виду a(x−h)²+k — мінімум/максимум видно одразу; для графіка — прочитай найнижчу/найвищу точку та «куди тягнеться» графік.
5. Запиши відповідь правильно. Використовуй проміжки й дужки: ( ), [ ], а якщо значення «випадає» — записуй об’єднання проміжків.

Приклади

• y = (x − 3)² + 2 — бачимо квадрат, а квадрат не буває від’ємним: (x − 3)² ≥ 0, найменше значення 0 досягається при x = 3, тоді y_min = 2; отже область значень: y ∈ [2; +∞). Діти часто думають, що «квадрат може дати будь-яке число», але насправді він дає лише 0 і додатні.
• y = −2(x + 1)² + 5 — знову квадрат, але перед ним мінус: (x + 1)² ≥ 0, тому −2(x + 1)² ≤ 0; найбільше значення буде, коли квадрат дорівнює 0 (тобто x = −1), тоді y_max = 5; область значень: y ∈ (−∞; 5].
• y = |x − 4| − 3 — модуль завжди не менше нуля: |x − 4| ≥ 0, найменше значення 0 при x = 4; тоді y_min = −3; область значень: y ∈ [−3; +∞). Діти часто забувають, що модуль «не пускає» нижче нуля, тому мінімум тут знаходиться легко.
• y = √(x + 2) — спочатку область визначення: x + 2 ≥ 0, тобто x ≥ −2; корінь квадратний не від’ємний, тому y ≥ 0; і будь-яке y ≥ 0 можна отримати (наприклад, взяти x = y² − 2); отже область значень: y ∈ [0; +∞).
• y = 1/(x − 2) — область визначення: x ≠ 2; тепер думаємо про y: дріб 1/(x − 2) ніколи не дорівнює 0, бо в чисельнику 1, а не 0; зате може бути будь-яким іншим числом (додатним або від’ємним); отже область значень: y ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Діти часто думають, що «0 теж підходить, бо можна взяти великий x», але як би ми не збільшували x, дріб лише наближається до 0, а не стає ним.
• За графіком: найнижча точка має y = −1 і вона зафарбована, а далі графік іде вгору без меж — читаємо з малюнка: мінімум досягається, отже y ≥ −1; область значень: y ∈ [−1; +∞). Діти інколи плутають зафарбовану й порожню точку: порожнє коло означає, що це значення не входить у відповідь.

Стратегії для тренування

• Починай з «швидких ознак»: квадрат ≥ 0, модуль ≥ 0, корінь ≥ 0 — це одразу дає межу для y.
• Для квадратичних функцій знаходь вершину (або переписуй у вигляді a(x−h)²+k) і відразу визначай мінімум/максимум.
• Для дробів перевіряй, які y неможливі (часто y ≠ 0 або є «дірка» через перетворення).
• Якщо є графік — спочатку дивись на найнижчу/найвищу точку та на «хвости» графіка (куди прямує при x → ±∞).
• Після відповіді зроби контроль: вибери 1–2 значення y з проміжку та перевір, чи можна підібрати x, щоб f(x)=y.

Самоперевірка

• Чи перевірив(ла) ти область визначення (немає ділення на нуль, підкореневий вираз не від’ємний тощо)?
• Чи зрозуміло, яке найменше або найбільше значення може мати ключова частина виразу (квадрат/модуль/корінь)?
• Чи не «випадає» якесь значення y (наприклад, y ≠ 0 для 1/(x−a))?
• Чи правильно обрані дужки: [ ] якщо значення досягається, ( ) якщо лише наближається?
• Чи можеш підставити приклад x і отримати y з твого проміжку, щоб переконатися, що відповідь реальна?

Уміння знаходити область значень функції допомагає швидко орієнтуватися в задачах ЗНО/НМТ: ти не просто рахуєш, а розумієш, які відповіді взагалі можливі.

Коли ти звикаєш перевіряти обмеження та бачити мінімум/максимум, зникають типові помилки з дужками, «забороненими» значеннями й графіками — а розв’язання стає коротшим і впевненішим.