Як знайти розв’язання

1. Прочитай вираз уважно. Визнач, де основа, а де аргумент у записі виду log_ab, і що саме треба знайти: значення, спростити вираз чи перетворити до іншого вигляду.
2. Перевір умови існування. Для log_ab обов’язково: a>0, a≠1, b>0. Якщо хоча б одна умова не виконується — вираз не має змісту.
3. Згадай означення логарифма. log_ab = x означає, що a^x=b. Часто найшвидше — перейти до степеня й перевірити відповідь.
4. Застосуй потрібну властивість. Добуток, частка, степінь, перехід до нової основи — обирай те правило, яке робить вираз простішим і ближчим до відомих чисел.
5. Зроби коротку перевірку. Після перетворень ще раз переконайся, що умови a>0, a≠1, b>0 не порушилися, і що відповідь логічна.

Приклади

• log₂8 — міркуй так: це число x, для якого 2^x=8; бачимо, що 2³=8, отже log₂8=3. Діти часто думають, що треба «8 поділити на 2», але правильніше шукати показник степеня.
• log₃(1/9) — перетворюємо в степінь: 3^x=1/9; знаємо, що 1/9=3^-2, тому x=-2 і log₃(1/9)=-2. Типова помилка: учні забувають про від’ємні показники й намагаються отримати додатне число.
• log₅(25) + log₅(1/5) — застосовуємо властивість: log_am + log_an = log_a(mn); маємо log₅(25·1/5)=log₅5=1. Перевірка: 25=5², 1/5=5^-1, сума 2+(-1)=1 — сходиться.
• log₂(32/4) — спочатку спрощуємо в дужках: 32/4=8; далі log₂8=3, бо 2³=8. Діти часто думають, що треба ділити «логарифм 32 на логарифм 4», але тут логарифм від частки всередині, тож зручніше спростити число.
• log₄16 — шукаємо x: 4^x=16; 4=2², 16=2⁴, отже (2²)^x=2⁴ → 2^2x=2⁴ → 2x=4 → x=2. Діти часто плутають і пишуть 4, бо бачать 16 і «згадують» 2⁴, але основа тут 4, а не 2.
• log_1/28 — перевіряємо умови: основа 1/2>0 і ≠1, аргумент 8>0, усе добре; шукаємо x: (1/2)^x=8; перепишемо (1/2)^x=2^-x, а 8=2³, тому -x=3 і x=-3. Висновок: log_1/28=-3.

Стратегії для тренування

• Завжди підкреслюй основу a та аргумент b у log_ab, щоб не переплутати їх у властивостях.
• Тренуй «переклад» у степінь: з логарифма в a^x=b і назад — це найкоротший шлях у багатьох тестах.
• Вчися впізнавати числа як степені (8=2³, 1/9=3^-2, 16=2⁴) — тоді відповідь знаходиться майже усно.
• Перед застосуванням властивості запитай себе: «Це добуток? частка? степінь?» і вибери відповідне правило.
• Після кожного перетворення швидко перевір обмеження: чи не з’явився нуль або від’ємне число під логарифмом, чи не стала основа 1.

Самоперевірка

• Я можу швидко назвати умови існування log_ab?
• Я не плутаю, де основа, а де аргумент у записі log_ab?
• Я вмію перетворити log_ab = x у рівність a^x=b і назад?
• Я знаю властивості для добутку, частки та степеня і застосовую їх доречно?
• Після перетворень я перевіряю, чи не порушив(ла) обмеження (a>0, a≠1, b>0)?
• Я можу пояснити свою відповідь одним коротким реченням: «бо a в степені … дорівнює b»?

Уміння працювати з означенням і властивостями логарифма робить складні вирази простими та керованими. Саме це часто економить час у завданнях ЗНО/НМТ і допомагає не «застрягати» на перетвореннях.

Чим більше ти тренуєшся, тим швидше помічаєш потрібну властивість і рідше робиш типові помилки з основою, аргументом та обмеженнями. А це — впевнені бали в тесті й міцна база для рівнянь та нерівностей.