Як знайти розв’язання

1. Розпізнай складену функцію. Подивись, чи можна записати вираз як y = f(g(x)): є «зовнішня дія» (наприклад, квадрат, синус, корінь) і «внутрішній аргумент» (те, що стоїть усередині).
2. Познач внутрішню частину. Зручно тимчасово написати u = g(x), а тоді y = f(u). Так легше не загубитися в дужках.
3. Застосуй правило ланцюга. Обчисли y' = f'(u) · u'. Тобто похідна зовнішньої функції (по u) множиться на похідну внутрішньої (по x).
4. Підстав значення точки акуратно. Спочатку знайди u в цій точці (u = g(x0)), потім підстав у f'(u) і помнож на u'(x0). Перевір, що ти підставляєш саме x0, а не u.
5. Швидко перевір себе. Чи враховані всі множники? Чи не «з’їлися» дужки? Чи правильно взята похідна зовнішньої функції?

Приклади

• y = (3x − 1)⁵, знайти y'(0) — внутрішня функція u = 3x − 1, зовнішня y = u⁵. За правилом ланцюга: y' = 5u⁴ · u' = 5(3x − 1)⁴ · 3. Підставляємо x = 0: y'(0) = 15(−1)⁴ = 15.
• y = sin(2x + 3), знайти y'(0) — u = 2x + 3, y = sin u. Тоді y' = cos u · u' = cos(2x + 3) · 2. Підставляємо x = 0: y'(0) = 2cos 3. Діти часто думають, що похідна sin(2x+3) — це просто cos(2x+3), але обов’язково треба домножити на похідну внутрішнього виразу (тут на 2).
• y = e^x², знайти y'(−1) — u = x², y = e^u. Маємо y' = e^u · u' = e^x² · 2x. Підставляємо x = −1: y'(−1) = e¹ · (−2) = −2e. Типова помилка: підставити x = −1 одразу в e^x² і забути про множник 2x.
• y = √(x + 4), знайти y'(5) — u = x + 4, y = √u = u^1/2. Тоді y' = (1/2)u^−1/2 · u' = (1/2)·1/√(x+4). Підставляємо x = 5: y'(5) = 1/(2√9) = 1/6. Діти часто плутають і пишуть 1/(2√x)+4, але «+4» має бути всередині кореня: √(x+4).
• y = ln(1 − x²), знайти y'(0) — u = 1 − x², y = ln u. За правилом ланцюга: y' = (1/u) · u' = (1/(1 − x²)) · (−2x). Підставляємо x = 0: y'(0) = 0. Тут легко помилитися зі знаком: похідна (1 − x²) дорівнює −2x, а не 2x.

Стратегії для тренування

• У кожному прикладі спочатку явно записуй: u = g(x), y = f(u) — це дисциплінує й зменшує кількість помилок.
• Тренуй «розпізнавання зовнішньої функції»: що є останньою дією над виразом (степінь, sin, ln, √ тощо).
• Після знаходження похідної роби коротку перевірку: чи є множник g'(x) і чи не загубилися дужки.
• Окремо відпрацюй типові зовнішні функції (sin, cos, ln, e^x, ( )ⁿ, √( )) на різних внутрішніх виразах.

Самоперевірка

• Чи можу я чітко назвати «внутрішню» функцію g(x) і «зовнішню» f( )?
• Чи взяв(ла) я похідну зовнішньої функції правильно (sin → cos, ln → 1/u, ( )ⁿ → n( )ⁿ⁻¹ тощо)?
• Чи домножив(ла) я на похідну внутрішньої функції g'(x)?
• Чи підставляю я значення точки після диференціювання, а не раніше?
• Чи перевірив(ла) знаки, дужки та степені під час підстановки?

Уміння знаходити похідну складеної функції в точці — це навичка, яка часто «вирішує» тестові завдання на ЗНО/НМТ: ти швидко бачиш структуру виразу й дієш за чітким алгоритмом.

Чим більше таких прикладів ти розв’яжеш, тим автоматичніше працюватиме правило ланцюга: менше випадкових помилок, більше швидкості й упевненості в результаті.