Як знайти розв’язання

1. Прочитай умову й знайди ключові слова. Якщо бачиш «вибрати і розташувати», «порядок важливий», «скільки різних кодів/паролів/номерів» — це схоже на розміщення.
2. Визнач n і k. n — скільки всього різних елементів є (літер, цифр, учнів, книжок), k — скільки з них беремо в один варіант (довжина коду, кількість місць, скільки предметів вибираємо).
3. Перевір, чи можна повторювати елементи. Якщо «без повторень» або «різні» — повторювати не можна. Якщо «кожна цифра може повторюватися» — це інший тип підрахунку (не плутай).
4. Запиши формулу розміщень без повторень. A(n,k) = n! / (n−k)! і обчисли, акуратно скорочуючи факторіали.
5. Зістав відповідь із варіантами та перевір себе. Оціни, чи відповідь не надто мала/велика, і чи точно k ≤ n.

Приклади

• Із цифр 1, 2, 3, 4 складають двоцифрові числа без повторень — спочатку визначаємо n=4 (цифри), k=2 (дві позиції). Порядок важливий, бо 12 і 21 — різні числа. Тому A(4,2)=4!/(4−2)!=4!/2!=4·3=12.
• Є 7 різних книжок. Скількома способами можна розставити на полиці 3 з них? — n=7, k=3, порядок важливий (на якому місці яка книжка). Обчислюємо A(7,3)=7!/(7−3)!=7!/4!=7·6·5=210. Діти часто думають, що треба просто «вибрати 3 книжки» і рахують C(7,3), але тут ще й розставляємо, тому відповідь більша.
• З 10 учнів обирають 4 на ролі: капітан, помічник, доповідач, хронометрист — ролі різні, отже порядок важливий: хто капітан, а хто доповідач — це різні варіанти. Маємо n=10, k=4: A(10,4)=10!/(10−4)!=10!/6!=10·9·8·7=5040.
• Скільки різних трилітерних «слів» можна скласти з літер А, Б, В, Г, Д без повторень? — n=5, k=3. Порядок важливий, бо «АБВ» і «ВАБ» різні. A(5,3)=5!/(5−3)!=5!/2!=5·4·3=60. Діти часто помиляються в факторіалах і пишуть 5!/3!, але правильний знаменник — (n−k)!.
• Із 8 різних деталей треба вибрати й розмістити 2 на дві позиції (ліва і права) — позиції різні, тож порядок важливий. n=8, k=2: A(8,2)=8!/(8−2)!=8!/6!=8·7=56. Діти інколи ділять на 2 «бо дві деталі», але ділити не треба: ліва/права позиції роблять варіанти різними.

Стратегії для тренування

• Після кожної задачі вголос сформулюй: «Порядок важливий чи ні?» і наведи приклад двох різних порядків.
• Тренуй скорочення факторіалів: n!/(n−k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1) — так швидше й менше помилок.
• Звикай одразу підписувати n і k біля умови, щоб не переплутати числа у формулі.
• Перевіряй крайні випадки: якщо k=1, то A(n,1)=n; якщо k=n, то A(n,n)=n!.

Самоперевірка

• Я чітко визначив(ла), що в задачі саме впорядковують вибрані елементи?
• Я правильно знайшов(ла) n (скільки всього) і k (скільки беремо)?
• Умова «без повторень» є? Якщо так, я не дозволив(ла) повтори в міркуваннях?
• Я застосував(ла) формулу A(n,k)=n!/(n−k)! і не переплутав(ла) (n−k)! із k!?
• Я скоротив(ла) факторіали правильно (через добуток k множників), а не рахував(ла) величезні числа без потреби?
• Моя відповідь реалістична: більша за n (коли k>1) і не суперечить умові?

Уміння розв’язувати задачі на розміщення дуже допомагає в комбінаториці: ти швидко впізнаєш ситуації, де важливий порядок, і не губишся у формулах.

Чим більше таких прикладів ти проробиш, тим легше на тесті буде діяти автоматично: визначити n і k, вибрати правильну формулу, акуратно порахувати й уникнути типових помилок із факторіалами.