Як знайти розв’язання

1. Прочитай умову й визнач, що саме треба знайти. Площа, об’єм, шлях, середнє значення чи щось «за графіком» — від цього залежить формула та вигляд інтеграла.
2. Зроби модель: запиши функцію та проміжок. Випиши f(x) або v(t), знайди межі (a і b) з умови, з рисунка або з точок перетину графіків.
3. Перевір знак і «що є площею». Якщо шукаєш геометричну площу, подумай, чи не треба модуль або розбиття на частини там, де графік нижче осі Ox.
4. Склади потрібний інтеграл і обчисли. Знайди первісну, підстав межі, акуратно порахуй. У задачах на рух пам’ятай: шлях = ∫ v(t) dt, а не просто v·t, якщо швидкість змінюється.
5. Зроби швидку перевірку. Оціни порядок величини (чи не вийшло «занадто велике/маленьке»), перевір одиниці вимірювання та логіку відповіді.

Приклади

• Знайти площу фігури під графіком y = x на відрізку [0; 2] — Площа під графіком на цьому проміжку дорівнює визначеному інтегралу ∫(від 0 до 2) x dx. Знаходимо первісну: x²/2. Підставляємо межі: (2²/2) − (0²/2) = 2. Отже, площа дорівнює 2.
• Знайти геометричну площу між графіком y = x − 1 і віссю Ox на [0; 2] — Спочатку перевіряємо, де графік перетинає Ox: x − 1 = 0, отже x = 1. На [0;1] значення від’ємні, на [1;2] — додатні. Тому геометричну площу рахуємо як ∫(від 0 до 1) |x−1| dx + ∫(від 1 до 2) |x−1| dx, або зручніше: −∫(від 0 до 1) (x−1) dx + ∫(від 1 до 2) (x−1) dx. Діти часто думають, що достатньо ∫(від 0 до 2) (x−1) dx, але це дає «площу зі знаком», а не справжню площу фігури.
• Знайти площу між графіками y = x і y = x² на [0; 1] — Спочатку з’ясовуємо, яка функція вище на цьому проміжку: для 0<x<1 маємо x > x², отже зверху y = x, знизу y = x². Площа між графіками: ∫(від 0 до 1) (x − x²) dx. Обчислюємо: первісна x²/2 − x³/3, підставляємо 1 і 0: 1/2 − 1/3 = 1/6. Висновок: площа дорівнює 1/6.
• Швидкість тіла v(t) = 3t (м/с), час t від 0 до 2 (с). Знайти шлях — Оскільки швидкість змінюється, шлях S = ∫(від 0 до 2) v(t) dt = ∫(від 0 до 2) 3t dt. Первісна: 3·t²/2. Підставляємо: 3·(4)/2 − 0 = 6. Отже, тіло пройшло 6 м. Діти часто помилково множать «швидкість на час» як 3t·2, але тут t змінюється, тому потрібен інтеграл.
• Знайти середнє значення функції f(x) = x² на [0; 2] — Середнє значення на відрізку: f̄ = (1/(b−a))·∫(від a до b) f(x) dx. Маємо (1/2)·∫(від 0 до 2) x² dx. Інтеграл: x³/3 від 0 до 2 = 8/3. Ділимо на 2: f̄ = 4/3. Діти часто думають, що «середнє» — це (f(0)+f(2))/2, але це працює не завжди і не є формулою середнього значення функції через інтеграл.
• Об’єм тіла обертання: обертання графіка y = x навколо осі Ox на [0; 2] — Для обертання навколо Ox використовуємо метод дисків: V = π∫(від 0 до 2) (y²) dx = π∫(від 0 до 2) x² dx. Обчислюємо: π·(x³/3 від 0 до 2) = π·8/3 = 8π/3. Перевіряємо: об’єм має бути додатним і з множником π — це хороший «маячок», що формула обрана правильно.

Стратегії для тренування

• Перед обчисленням інтеграла завжди роби міні-ескіз графіка або хоча б перевіряй знак функції на проміжку.
• Тренуйся знаходити межі інтегрування: з умови, з перетинів графіків, з ключових точок (де y=0, де функції рівні).
• Вчись «перекладати слова на математику»: площа → ∫ f(x) dx, шлях → ∫ v(t) dt, середнє значення → (1/(b−a))∫ f(x) dx, об’єм обертання → π∫ y² dx.
• Після відповіді роби контроль здоровим глуздом: знак, приблизний розмір, одиниці вимірювання.

Самоперевірка

• Я точно розумію, що шукаю: площу, об’єм, шлях чи середнє значення?
• Чи правильно визначив(ла) межі інтегрування? Звідки вони взялися в задачі?
• Якщо це площа: чи не проходить графік нижче осі Ox? Чи треба модуль/розбиття?
• Якщо це площа між двома графіками: чи правильно вибрав(ла), яка функція зверху, а яка знизу?
• Якщо це рух: чи використав(ла) S = ∫ v(t) dt, а не формулу для сталої швидкості?
• Чи сходяться одиниці вимірювання (м, с, м/с, м², м³)?

У задачах ЗНО/НМТ інтеграл — це не тільки «обчислити первісну», а вміння побачити правильну модель: де накопичується площа, шлях або об’єм. Коли ти вмієш це робити, багато задач стають передбачуваними й розв’язуються за чітким планом.

Регулярне тренування допомагає уникати типових помилок із межами та знаком, швидше читати графіки й упевненіше отримувати бали там, де інші губляться.