Як знайти розв’язання

1. Визнач вид прогресії. Подивись на послідовність: якщо різниця між сусідніми членами стала — це арифметична прогресія; якщо сталим є відношення (ділення) — геометрична.
2. Знайди потрібні параметри. Випиши те, що відомо: перший член a₁, різницю d або знаменник q, номер n, а також що саме треба знайти (a_n, S_n, d, q тощо).
3. Обери правильну формулу. Для арифметичної: a_n=a₁+(n−1)d, S_n=(a₁+a_n)·n/2. Для геометричної: a_n=a₁·qⁿ⁻¹, S_n=a₁(qⁿ−1)/(q−1) (якщо q≠1).
4. Акуратно підстав і порахуй. Перевір дужки, степені та порядок дій. Якщо є від’ємні числа або дроби — уважно стеж за знаками.
5. Зроби швидку перевірку. Підстав результат назад у логіку прогресії: у АП різниці мають збігатися, у ГП — відношення; сума має бути реалістичною за розміром.

Приклади

• Послідовність: 5, 9, 13, 17, … — Рахуємо різниці: 9−5=4, 13−9=4, 17−13=4. Різниця стала, отже це арифметична прогресія з d=4. Далі, якщо треба знайти, наприклад, a₁₀, беремо формулу a_n=a₁+(n−1)d: a₁₀=5+9·4=41.
• Послідовність: 3, 6, 12, 24, … — Перевіряємо відношення: 6/3=2, 12/6=2, 24/12=2. Отже це геометрична прогресія з q=2, a₁=3. Щоб знайти a₇, використовуємо a_n=a₁·qⁿ⁻¹: a₇=3·2⁶=3·64=192. Діти часто думають, що треба додавати 2 щоразу, але в геометричній прогресії ми множимо на 2.
• Дано: a₁=8, d=−3, n=6. Знайти a₆. — Це арифметична прогресія, бо задано d. Підставляємо у формулу: a₆=8+(6−1)·(−3)=8−15=−7. Типова помилка: загубити мінус і порахувати 8+15, але правильніше пам’ятати, що d від’ємне, тому члени зменшуються.
• Дано: a₁=2, q=3, n=5. Знайти S₅. — Це геометрична прогресія. Беремо формулу суми: S_n=a₁(qⁿ−1)/(q−1). Маємо S₅=2·(3⁵−1)/(3−1)=2·(243−1)/2=242. Діти часто забувають поділити на (q−1), але без цього сума буде завеликою.
• Послідовність: −4, 2, −1, 0.5, … — Перевіряємо відношення: 2/(−4)=−0.5, (−1)/2=−0.5, 0.5/(−1)=−0.5. Відношення стало, отже це геометрична прогресія з q=−0.5. Якщо треба знайти наступний член, множимо попередній на q: 0.5·(−0.5)=−0.25. Типова помилка: дивитися лише на знаки й думати, що це «просто чергування плюс/мінус», але тут важливо саме сталий множник.
• Дано: a₃=11, a₇=27 (арифметична прогресія). Знайти d і a₁. — У АП: a_k=a₁+(k−1)d. Маємо систему: a₃=a₁+2d=11, a₇=a₁+6d=27. Віднімаємо перше рівняння від другого: 4d=16, отже d=4. Тоді a₁=11−2·4=3. Перевірка: a₇=3+6·4=27 — сходиться.

Стратегії для тренування

• Перед обчисленнями завжди роби міні-діагностику: 2 різниці та 2 відношення між сусідніми членами.
• Тренуй «швидкі формули»: виписуй a_n і S_n для АП та ГП з пам’яті, а потім звіряй.
• Розв’язуй задачі двома способами, коли можливо: через формулу та через коротку перевірку логікою послідовності.
• Окремо відпрацюй випадки з від’ємними d або q та з дробовим q — там найчастіше губляться знаки.
• Після кожної відповіді роби 10-секундну перевірку: чи зростають/спадають члени так, як має бути, і чи не «вилетіла» помилка зі степенем.

Самоперевірка

• Як ти визначиш, що послідовність є арифметичною, якщо бачиш лише 3–4 числа?
• Як ти визначиш, що послідовність є геометричною? Що робити, якщо є від’ємні числа?
• Яку формулу ти обереш для a_n в АП і в ГП? Чим вони відрізняються?
• Коли для суми геометричної прогресії можна використовувати S_n=a₁(qⁿ−1)/(q−1)?
• Чи перевірив(ла) ти, що d або q справді сталі для кількох сусідніх пар?
• Чи не переплутав(ла) ти n і n−1 під час піднесення до степеня або множення на (n−1)?

Уміння працювати з арифметичною та геометричною прогресіями — це про чіткий алгоритм: розпізнати тип, знайти параметри, підставити у формулу й перевірити себе. Саме такі задачі часто трапляються на ЗНО/НМТ, бо вони добре перевіряють уважність і базову алгебру.

Коли ти натренуєш ці кроки, розв’язання стане швидшим і спокійнішим: менше сумнівів, менше «дрібних» помилок, більше правильних відповідей навіть у тесті з обмеженим часом.