Як знайти розв’язання

1. Знайди ОДЗ (область допустимих значень). Подивись на всі знаменники й запиши, за яких значень змінної вони не дорівнюють нулю.
2. Розклади на множники. Якщо бачиш квадратний тричлен, різницю квадратів або спільний множник — розкладання дуже допоможе скорочувати й зводити до спільного знаменника.
3. Спрости вираз правильно. Скорочуй лише множники (те, що стоїть у добутку), а не доданки. Дужки не ігноруй: знак «мінус» перед дужками змінює знаки всередині.
4. Виконай дії з дробами. Для додавання/віднімання — спільний знаменник; для множення — перемнож чисельники й знаменники; для ділення — помнож на обернений дріб.
5. Перевір, чи не загубив обмеження. Після всіх перетворень ще раз звір ОДЗ: навіть якщо щось скоротилось, заборонені значення залишаються забороненими.

Приклади

• Вираз: (x+3)/(x-2). — Міркуємо так: знаменник x-2 не може дорівнювати нулю, отже x ≠ 2. Більше нічого спрощувати не треба, просто фіксуємо ОДЗ. Діти часто думають, що «якщо не просять ОДЗ, то можна не писати», але в дробово-раціональних виразах це майже завжди важливо.
• Спрости: (x^2-9)/(x-3). — Спершу ОДЗ: x-3 ≠ 0, тобто x ≠ 3. Далі розкладаємо чисельник: x^2-9 = (x-3)(x+3). Тепер скорочуємо спільний множник (x-3) і отримуємо x+3, але з умовою x ≠ 3 (вона не зникає!).
• Спрости: (x^2-4)/(x^2+4x+4). — ОДЗ: x^2+4x+4 ≠ 0. Розкладаємо: x^2-4 = (x-2)(x+2), а x^2+4x+4 = (x+2)^2. Скорочуємо один множник (x+2) і маємо (x-2)/(x+2). При цьому з ОДЗ: (x+2)^2 ≠ 0, тобто x ≠ -2. Діти часто скорочують і потім забувають, що x = -2 все одно заборонено.
• Обчисли: 1/(x-1) + 2/(x+1). — ОДЗ: x ≠ 1 і x ≠ -1. Спільний знаменник: (x-1)(x+1). Перший дріб домножаємо на (x+1), другий — на (x-1). Отримуємо (x+1 + 2(x-1))/((x-1)(x+1)) = (x+1 + 2x-2)/((x-1)(x+1)) = (3x-1)/(x^2-1). Діти часто роблять помилку зі знаками: 2(x-1) інколи розкривають як 2x+1, але правильно 2x-2.
• Спрости: (x/(x-2)) · ((x-2)/(x+5)). — ОДЗ: x ≠ 2 і x ≠ -5. Тут множення дробів: перемножаємо й одразу бачимо спільний множник (x-2) у чисельнику та знаменнику, його можна скоротити. Залишається x/(x+5) з тими ж обмеженнями x ≠ 2, x ≠ -5.
• Спрости: (x^2-1)/(x-1) : (x+1)/x. — ОДЗ: x-1 ≠ 0 (x ≠ 1), і x ≠ 0 (бо в другому дробі знаменник x), також у діленні важливо, щоб (x+1)/x не дорівнював нулю: він дорівнює нулю, коли x+1=0, тобто x ≠ -1. Далі: ділення замінюємо множенням на обернений дріб: (x^2-1)/(x-1) · x/(x+1). Розкладаємо x^2-1 = (x-1)(x+1), скорочуємо (x-1) і (x+1), отримуємо просто x, але з ОДЗ: x ≠ 1, 0, -1. Діти часто забувають про «не можна ділити на нуль» і не додають умову x ≠ -1.

Стратегії для тренування

• Починай кожен приклад із короткого рядка «ОДЗ: …», навіть якщо здається, що це зайве.
• Тренуй розкладання на множники: різниця квадратів, повний квадрат, винесення спільного множника — це ключ до швидких скорочень.
• Після кожного перетворення роби мініперевірку: «Я нічого не поділив на нуль? Я правильно розкрив дужки?»
• Для додавання/віднімання дробів спочатку знаходь спільний знаменник, а вже потім працюй з чисельниками.
• У діленні завжди проговорюй: «Множу на обернений дріб» і додай умову, що дільник не дорівнює нулю.

Самоперевірка

• Я виписав(ла) ОДЗ для всіх знаменників і не забув(ла) про умови під час ділення?
• Я скорочував(ла) саме множники, а не «шматочки» суми чи різниці?
• Я правильно розкрив(ла) дужки, особливо коли перед ними стояв мінус?
• Для додавання/віднімання я спочатку зробив(ла) спільний знаменник?
• Після спрощення я перевірив(ла), чи не зникли випадково обмеження з ОДЗ?

Уміння працювати з дробово-раціональними виразами — це про уважність і порядок у кроках. Коли ти автоматично знаходиш ОДЗ, розкладаєш на множники та акуратно виконуєш дії з дробами, завдання на тесті розв’язуються значно швидше.

Ця навичка потрібна не лише для окремих прикладів: вона постійно «вмикається» в рівняннях, нерівностях і задачах підвищеної складності. Чим більше тренувань — тим менше випадкових помилок і тим більше впевненості на ЗНО/НМТ.