Як знайти розв’язання

1. Уважно визнач, що означає функція. Подивись на запис: s(t) — шлях, v(t) — швидкість, a(t) — прискорення, або y(x) — просто деяка величина, що змінюється.
2. Знайди потрібну похідну. Якщо питають швидкість — обчислюй s'(t); якщо прискорення — v'(t) або s''(t); якщо «швидкість зміни» величини — це y'(x).
3. Підстав значення в точці. Коли є «в момент t=…» або «при x=…», спочатку знайди похідну, а потім підстав число й обчисли значення.
4. Поясни фізичний зміст і одиниці. Перевір: якщо s у метрах, t у секундах, то s'(t) у м/с; якщо v у м/с, то v'(t) у м/с². Напиши словами, що саме означає число.
5. Якщо є графік — читай нахил. Похідна в точці — це нахил дотичної: більший нахил → більша швидкість зміни; горизонтальна дотична → похідна 0.

Приклади

• s(t)=t²+2t (м), t — у секундах. Знайти миттєву швидкість у момент t=3 — спочатку розуміємо, що швидкість v(t)=s'(t); знаходимо похідну: s'(t)=2t+2; підставляємо t=3: v(3)=2·3+2=8; висновок: у момент 3 с тіло рухається зі швидкістю 8 м/с.
• v(t)=6t−4 (м/с). Знайти прискорення — прискорення a(t)=v'(t); похідна від 6t−4 дорівнює 6; отже, прискорення стало й дорівнює 6 м/с². Діти часто думають, що треба підставляти якийсь t, але якщо похідна стала, то значення однакове в будь-який момент.
• s(t)=t³ (м). Знайти прискорення в момент t=2 — якщо дано шлях, то прискорення це друга похідна: a(t)=s''(t); спочатку швидкість: s'(t)=3t²; далі прискорення: s''(t)=6t; підставляємо t=2: a(2)=12; висновок: прискорення 12 м/с².
• Графік s(t): у точці t=5 дотична піднімається на 3 м, коли t збільшується на 1 с — похідна s'(5) дорівнює нахилу дотичної: 3 м за 1 с, тобто 3 м/с; висновок: миттєва швидкість у момент 5 с — 3 м/с. Діти часто плутають і беруть «середню швидкість» між двома точками графіка, але тут потрібен саме нахил дотичної в одній точці.
• y(x) — температура (°C) залежно від часу x (год). У момент x=2 похідна y'(2)=−1,5 — знак «−» означає, що температура зменшується; число 1,5 показує, як швидко: на 1,5 °C за годину в цей момент; висновок: у момент 2 год температура спадає зі швидкістю 1,5 °C/год. Діти часто думають, що «мінус» — це «погано» або «помилка», але це просто напрям зміни.

Стратегії для тренування

• Перед обчисленнями завжди підписуй: s(t) → v(t)=s'(t) → a(t)=v'(t)=s''(t).
• Після відповіді дописуй одиниці вимірювання й коротке речення «що це означає».
• Тренуйся визначати знак похідної: «+» — зростає, «−» — спадає, «0» — у цей момент не змінюється.
• Якщо є графік, спочатку оціни нахил (круто/пологе/горизонтально), а вже потім переходь до чисел.
• Перевір логіку: швидкість не може мати одиниці м/с², а прискорення — м/с.

Самоперевірка

• Яка величина є похідною від шляху s(t)?
• Що означає значення s'(t0) у момент часу t0?
• Які одиниці вимірювання має s'(t), якщо s у метрах, а t у секундах?
• Як знайти прискорення, якщо задано тільки s(t)?
• Що означає від’ємне значення похідної в точці?
• Як на графіку зрозуміти, де похідна дорівнює нулю?

Фізичний зміст похідної допомагає не просто «взяти похідну за правилом», а правильно прочитати відповідь: що саме відбувається з рухом або величиною в цей момент і з якою швидкістю вона змінюється.

Ця навичка часто вирішує долю тестових завдань ЗНО/НМТ: інколи обчислення коротке, але важливо правильно інтерпретувати число, знак і одиниці. Коли ти це вмієш, похідна стає зрозумілим інструментом, а не набором формул.