Як знайти розв’язання

1. Розпізнай «шаблон» у виразі. Подивися, чи є тут (a+b)², (a−b)², (a+b)(a−b), a³±b³ або вираз, який можна до них підвести.
2. Визнач a і b. Випиши, що саме є першим доданком/множником (a) і другим (b), не забудь про знак «мінус», якщо він належить до b.
3. Застосуй правильну формулу. Розкрий дужки або навпаки — згорни вираз у дужки/множники за відповідною формулою.
4. Перевір знаки й «середній» член. Для квадратів суми/різниці обов’язково має бути 2ab, а для різниці квадратів — саме (a−b)(a+b).
5. Спрощуй до кінця. Зведи подібні доданки, скороти дроби (якщо можна), приведи вираз до найпростішого вигляду.

Приклади

• (x+5)² — це квадрат суми: a=x, b=5. Застосовуємо (a+b)²=a²+2ab+b²: отримуємо x²+2·x·5+25=x²+10x+25. Діти часто думають, що (x+5)²=x²+25, але правильніше додати ще середній член 10x.
• (3a−2)² — це квадрат різниці: a=3a, b=2. Формула (a−b)²=a²−2ab+b²: (3a)²−2·(3a)·2+2²=9a²−12a+4. Типова помилка: ставлять «+12a», але в квадраті різниці середній член завжди зі знаком «мінус».
• (m+7)(m−7) — бачимо добуток суми і різниці: (a+b)(a−b)=a²−b², де a=m, b=7. Отже, m²−49. Тут не потрібно розкривати дужки «вручну», формула одразу економить час.
• 25x²−10x+1 — спробуй впізнати квадрат різниці. Перевір: 25x²=(5x)², 1=1², а середній член −10x це −2·(5x)·1. Отже, 25x²−10x+1=(5x−1)². Діти часто плутають і пишуть (5x+1)², але тоді середній член був би +10x.
• a³−8 — це різниця кубів: 8=2³, тобто a³−2³. Формула a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²): маємо (a−2)(a²+2a+4). Важливо не переплутати знак у другій дужці: там завжди «плюси».
• x³+27 — це сума кубів: 27=3³, тобто x³+3³. Формула a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²): отримуємо (x+3)(x²−3x+9). Типова помилка: написати (x+3)(x²+3x+9), але в сумі кубів середній член у квадратній дужці зі знаком «мінус».

Стратегії для тренування

• Вчи формули парами: квадрат суми ↔ квадрат різниці, сума кубів ↔ різниця кубів — так легше не плутати знаки.
• Підкреслюй a і b в кожному завданні перед перетворенням, особливо якщо є коефіцієнти (3a, 5x тощо).
• Після перетворення роби швидку перевірку: чи збігається перший і останній член (a² і b²), і чи правильний середній член (2ab).
• Тренуй «згортання» назад: з тричлена роби квадрат двочлена, з a²−b² — добуток двох дужок.
• Розв’язуй по таймеру 5–7 хвилин: формули скороченого множення — це про швидкість і точність.

Самоперевірка

• Чи можу я швидко назвати формули для (a+b)², (a−b)² та a²−b²?
• Чи правильно я визначив(ла), що саме є a і що є b (особливо якщо є мінус або число)?
• Чи не забув(ла) я про середній член 2ab у квадратах суми/різниці?
• Чи перевірив(ла) я знаки в формулах суми/різниці кубів у другій дужці?
• Чи довів(ла) я спрощення до кінця: зібрав(ла) подібні, скоротив(ла) дроби, прибрав(ла) зайві дужки?

Формули скороченого множення — це «короткі дороги» в алгебрі: вони допомагають швидко спрощувати вирази, розкладати на множники та акуратно працювати з дужками без зайвих обчислень.

Коли ти починаєш впізнавати ці шаблони з першого погляду, завдання на ЗНО/НМТ розв’язуються спокійніше й швидше, а помилок у знаках і пропущених членах стає значно менше.