Як знайти розв’язання

1. Уважно прочитай умову й уточни, що саме потрібно: найменше значення y чи точку (x), де воно досягається; також перевір, чи задано відрізок, проміжок або всю область визначення.
2. Знайди «кандидатів на мінімум»: для формули — критичні точки (де f'(x)=0 або похідна не існує) і кінці відрізка; для графіка — найнижчі точки та значення на межах заданого проміжку.
3. Обчисли значення функції в цих точках (або зчитай з графіка) і склади короткий список значень, щоб було зручно порівнювати.
4. Порівняй значення та обери найменше, не забуваючи про обмеження: якщо точка не входить у проміжок (наприклад, дужка кругла), її не можна брати як відповідь.
5. Запиши відповідь у потрібному форматі: якщо питають «найменше значення», пиши число y; якщо питають «при якому x», пиши відповідний x (або пару, якщо так вимагають).

Приклади

• f(x)=x²−4x+5 на відрізку [0; 5] — спочатку знайди вершину параболи: x=−b/(2a)=4/2=2. Це «кандидат». Далі перевір значення в x=0, x=2, x=5: f(0)=5, f(2)=1, f(5)=10. Найменше з них 1, отже мінімальне значення функції на відрізку — 1 (досягається при x=2).
• f(x)=x³−3x на відрізку [−2; 2] — знайди похідну: f'(x)=3x²−3=3(x²−1). Критичні точки: x=−1 і x=1. Тепер перевір значення в x=−2, −1, 1, 2: f(−2)=−2, f(−1)=2, f(1)=−2, f(2)=2. Найменше значення −2 (воно трапляється і при x=−2, і при x=1). Діти часто думають, що мінімум має бути лише в одній точці, але інколи однаковий мінімум буває в кількох точках.
• Графік функції задано на [−3; 4], і найнижча точка «яма» має координати (1; −2) — зчитай саме y-координату найнижчої точки: це −2. Потім швидко глянь на значення на кінцях відрізка (при x=−3 і x=4), щоб переконатися, що там не нижче. Якщо на кінцях, наприклад, y=1 і y=0, то мінімум справді −2.
• f(x)=|x−3| на відрізку [0; 2] — найменше значення модуля зазвичай у точці, де вираз під модулем дорівнює нулю (x=3), але 3 не входить у відрізок [0; 2]. Тому перевір кінці: f(0)=3, f(2)=1. Найменше значення 1 (при x=2). Діти часто «автоматом» пишуть 0, бо бачать модуль, але правильніше спочатку перевірити, чи потрібна точка взагалі належить заданому відрізку.
• f(x)=1/(x−1) на проміжку (1; 3) — зверни увагу: x=1 не входить у проміжок, і біля 1 функція різко «падає» вниз (значення стають дуже великими за модулем і від’ємними). На (1; 3) функція зростає від дуже малого (−∞) до f(3)=1/2, але мінімального значення як конкретного числа вона не має, бо можна робити значення все меншими і меншими, наближаючись до 1 справа. Висновок: найменшого значення на (1; 3) не існує. Діти часто підставляють тільки кінці й пишуть 1/2, але кругла дужка означає, що x=1 і x=3 не обов’язково можна брати як точки мінімуму, а ще важливо врахувати поведінку біля розриву.

Стратегії для тренування

• Спочатку роби «чек-лист точок»: кінці відрізка + критичні точки всередині — і тільки потім порівнюй значення.
• Для графіків тренуйся читати координати точно: спочатку x, потім y; перевір, чи точка належить заданому проміжку.
• Після знаходження відповіді став собі питання: «Чи не забув(ла) я про область визначення або про круглі/квадратні дужки?»
• Якщо функція складна, роби маленьку таблицю значень у «кандидатах» — так менше шансів помилитися в порівнянні.

Самоперевірка

• Я чітко розрізняю: потрібно знайти найменше значення y чи значення x, де воно досягається?
• Я перевірив(ла) всі кінці відрізка, якщо вони задані?
• Я знайшов(ла) всі критичні точки, що лежать усередині потрібного проміжку?
• Я не використав(ла) точку, яка не входить у проміжок через круглу дужку?
• Я врахував(ла) розриви, заборонені значення та область визначення?
• Моя відповідь записана у форматі, який зазвичай вимагає ЗНО/НМТ (одне число, без зайвих пояснень)?

Уміння знаходити найменше значення функції — це одна з базових навичок для ЗНО/НМТ: вона часто зустрічається і в простих завданнях, і в тих, де треба швидко прийняти правильне рішення.

Коли ти звикаєш перевіряти «кандидатів» на мінімум і не забувати про межі та область визначення, розв’язування стає набагато впевненішим, а типових помилок — помітно менше.