Як знайти розв’язання

1. Прочитай вираз і підготуй його. Спочатку спробуй спростити: винеси константу за знак інтеграла, розкрий дужки, перетвори корені на степені (наприклад, √x = x^1/2).
2. Визнач тип функції. Це степенева (xⁿ), дробова (1/x), сума кількох доданків чи вираз із коефіцієнтами? Від цього залежить, яку формулу з таблиці інтегралів застосувати.
3. Застосуй правила інтегрування. Користуйся лінійністю: ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx, а також винесенням константи: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx.
4. Обчисли первісну для кожного доданка. Для xⁿ (n ≠ −1) додаємо 1 до показника і ділимо на новий показник; для 1/x використовуємо ln|x|.
5. Не забудь про + C і перевір себе похідною. У кінці обов’язково допиши «+ C», а якщо сумніваєшся — продиференціюй відповідь і порівняй з підінтегральною функцією.

Приклади

• ∫(3x²)dx — виносимо 3: 3∫x²dx. Для x² додаємо 1 до показника: x³/3. Отже, 3·(x³/3) = x³ + C.
• ∫(x⁵ − 4x + 7)dx — інтегруємо почленно: ∫x⁵dx = x⁶/6, ∫(−4x)dx = −4·x²/2 = −2x², ∫7dx = 7x. Разом: x⁶/6 − 2x² + 7x + C. Діти часто думають, що 7 перетворюється на 7, але правильніше: константа 7 дає 7x.
• ∫(1/x)dx — це особливий випадок, бо тут показник −1. Не застосовуємо формулу для xⁿ, а беремо: ln|x| + C. Діти часто пишуть x⁰/0, але так робити не можна: ділення на нуль заборонене.
• ∫√x dx — спочатку переписуємо √x як x^1/2. Додаємо 1: 1/2 + 1 = 3/2, ділимо: x^3/2 / (3/2) = (2/3)x^3/2 + C. Діти часто «забувають» поділити на 3/2, але правильніше помножити на 2/3.
• ∫(2/x + x⁻³)dx — розділяємо на суму: ∫(2/x)dx + ∫x⁻³dx. Перше: 2ln|x|. Друге: для x⁻³ додаємо 1: −2, отримуємо x⁻²/(−2) = −(1/2)x⁻². Разом: 2ln|x| − (1/2)x⁻² + C.

Стратегії для тренування

• Щодня розв’язуй 5–10 коротких інтегралів, чергуючи степеневі, дробові та з коренями.
• Перед інтегруванням роби «переписування»: корені та дроби переводь у степені, а вирази з дужками — розкривай.
• Після кожних 2–3 прикладів перевіряй себе похідною: це швидко ловить помилки в степенях і коефіцієнтах.
• Веди список типових помилок (знак, коефіцієнт, +C, випадок 1/x) і перед роботою пробігай його очима.

Самоперевірка

• Чи спростив(ла) я вираз перед інтегруванням (виніс(ла) константи, переписав(ла) корені як степені)?
• Чи правильно я визначив(ла), де можна застосувати формулу для xⁿ, а де треба ln|x|?
• Чи інтегрував(ла) я кожен доданок окремо і не загубив(ла) жодного знака «+» або «−»?
• Чи правильно я поділив(ла) на новий показник степеня після додавання 1?
• Чи є в кінці «+ C»?
• Чи перевірив(ла) я результат похідною (хоча б у складніших прикладах)?

Уміння знаходити невизначений інтеграл — це не просто «формули напам’ять», а навичка швидко розпізнавати тип виразу й діяти за зрозумілим алгоритмом. Саме це часто економить час на ЗНО та зменшує кількість прикрих помилок.

Чим більше ти тренуєшся, тим легше стає: око швидко помічає степені, коефіцієнти та особливий випадок 1/x, а перевірка похідною додає впевненості у відповіді.