Як знайти розв’язання

1. Уважно прочитай вираз функції. Подивись, чи є дріб (знаменник), корінь, логарифм, тангенс/котангенс або кілька дій одночасно.
2. Випиши всі обмеження окремо. Для кожного «небезпечного місця» сформулюй умову: що має бути дозволено, а що — заборонено.
3. Розв’яжи кожну умову як нерівність/виключення. Знайди, які значення x підходять, а які треба викреслити.
4. Об’єднай умови в одну відповідь. Якщо обмежень кілька, область визначення — це перетин усіх умов (підходить тільки те, що підходить одразу всюди).
5. Перевір себе підстановкою. Візьми 1–2 значення з «дозволено» і 1 значення з «заборонено» та переконайся, що все логічно.

Приклади

• f(x) = 1/(x − 5) — знаменник не може дорівнювати нулю, тому x − 5 ≠ 0; звідси x ≠ 5. Отже, область визначення: усі дійсні, крім 5. Діти часто думають, що «дріб існує завжди», але при x = 5 ділення на нуль неможливе.
• f(x) = √(2x + 6) — підкореневий вираз має бути невід’ємним: 2x + 6 ≥ 0; тоді 2x ≥ −6, x ≥ −3. Отже, область визначення: [−3; +∞). Діти часто ставлять «> 0», але нуль теж можна: √0 існує.
• f(x) = ln(x − 4) — аргумент логарифма має бути строго додатним: x − 4 > 0; отже x > 4. Область визначення: (4; +∞). Типова помилка: дозволити x = 4, але ln(0) не існує.
• f(x) = √(x − 1)/(x + 2) — тут одразу дві умови: (1) під коренем x − 1 ≥ 0, тобто x ≥ 1; (2) знаменник x + 2 ≠ 0, тобто x ≠ −2. Далі беремо перетин: якщо x ≥ 1, то значення −2 і так не потрапляє, тож область визначення: [1; +∞). Важливо не «складати» умови, а саме перетинати.
• f(x) = 1/√(x − 3) — корінь у знаменнику дає подвійне правило: підкореневий вираз має бути додатним (бо в знаменнику не можна 0): x − 3 > 0, отже x > 3. Область визначення: (3; +∞). Діти часто пишуть x ≥ 3, але при x = 3 вийде 1/0, а це заборонено.

Стратегії для тренування

• Підкреслюй у виразі «ризикові місця»: знаменники, корені, логарифми — і одразу поруч записуй правило для кожного.
• Тренуйся швидко переводити правила в нерівності: «під коренем ≥ 0», «у логарифмі > 0», «знаменник ≠ 0».
• Після розв’язання завжди роби маленьку перевірку підстановкою одного значення з області та одного поза нею.
• Якщо відповідь у вигляді проміжків, звикай записувати її акуратно: дужки/квадратні дужки, знак об’єднання, «крім».

Самоперевірка

• Чи я перевірив(ла) всі знаменники на умову «≠ 0»?
• Якщо є корінь: чи правильно я визначив(ла), де «≥ 0», а де треба «> 0» (коли корінь у знаменнику)?
• Якщо є логарифм: чи поставив(ла) я строгий знак «> 0» для аргументу?
• Чи я взяв(ла) саме перетин умов, а не «об’єднав(ла) все підряд»?
• Чи правильно я записав(ла) відповідь проміжками (дужки/квадратні дужки) і не забув(ла) виключити заборонені точки?

Уміння швидко знаходити область визначення — це основа для багатьох тем: графіків, рівнянь, нерівностей, похідної та дослідження функцій. Якщо з доменом усе правильно, далі розв’язувати значно легше.

Регулярно тренуйся на різних типах виразів і звикай перевіряти обмеження автоматично. Так ти не втратиш бали на ЗНО/НМТ через дрібну неуважність і почуватимешся впевненіше на тесті.