Як знайти розв’язання

1. Уважно перепиши функцію. Перевір дужки, знаки «+» і «−», степені та чи немає дробу або кореня — від цього залежить правило, яке треба застосувати.
2. Визнач тип виразу. Це сума/різниця, добуток, частка чи складена функція (наприклад, (2x−1)⁵)? Відповідь підкаже потрібну формулу.
3. Застосуй правила диференціювання. Для суми/різниці — похідна по частинах; для степеня — зменш степінь на 1; для добутку/частки — використовуй відповідні формули; для складеної — правило ланцюга.
4. Спрости результат. Зведи подібні доданки, винеси спільний множник, скороти дріб (якщо можна). Так легше перевіряти й підставляти значення.
5. Зроби швидку перевірку логікою. Якщо функція стала «простішою», похідна зазвичай має менший степінь; константа дає 0; знак «−» не зникає — він переходить у відповідь.

Приклади

• f(x)=3x⁴−5x+7 — беремо похідну від кожного доданка окремо: (3x⁴)' = 3·4x³=12x³, (−5x)'=−5, (7)'=0. Отже, f'(x)=12x³−5. Діти часто думають, що похідна від 7 — це 7, але правильніше: будь-яка стала має похідну 0.
• g(x)=(2x−1)⁵ — це складена функція, працює правило ланцюга: спочатку похідна зовнішньої частини (… )⁵ дає 5(… )⁴, а потім множимо на похідну внутрішньої (2x−1)'=2. Отже, g'(x)=5(2x−1)⁴·2=10(2x−1)⁴. Діти часто «забувають» помножити на 2, але без цього відповідь буде неправильною.
• h(x)=(x²+1)(x−3) — добуток двох функцій, тому: h'(x)=(x²+1)'(x−3)+(x²+1)(x−3)'. Маємо (x²+1)'=2x, (x−3)'=1. Отже, h'(x)=2x(x−3)+(x²+1)·1=2x(x−3)+x²+1. Можна спростити: 2x(x−3)=2x²−6x, тому h'(x)=3x²−6x+1.
• p(x)=(x²+1)/(x−1) — це частка, застосовуємо формулу: p'(x)=((x²+1)'(x−1)−(x²+1)(x−1)')/(x−1)². Обчислюємо: (x²+1)'=2x, (x−1)'=1. Тоді p'(x)=(2x(x−1)−(x²+1)·1)/(x−1)²=(2x²−2x−x²−1)/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)². Діти часто плутають порядок у чисельнику (міняють місцями доданки) — важливо пам’ятати: «похідна чисельника · знаменник мінус чисельник · похідна знаменника».
• q(x)=sin x + x³ — похідна суми дорівнює сумі похідних: (sin x)'=cos x, (x³)'=3x². Отже, q'(x)=cos x + 3x². Якщо у варіантах відповідей є cos x і −cos x, перевір знак: у sin x похідна саме cos x.

Стратегії для тренування

• Починай із простих: степенева функція, сума/різниця, потім переходь до добутку, частки й складених виразів.
• Після кожної відповіді роби «контроль знаків»: проговори вголос, звідки взявся кожен мінус.
• Тренуйся спрощувати: винесення спільного множника й скорочення дробів часто економлять час у тесті.
• Роби міні-набір формул на пам’ять (5–7 штук) і повторюй його перед виконанням вправи 1–2 хвилини.
• Якщо є помилка — не просто виправляй, а визначай правило, яке «підвело» (добуток/частка/ланцюг/степінь).

Самоперевірка

• Я правильно визначив, де сума/різниця, а де добуток або частка?
• Чи не забув я, що похідна сталої дорівнює 0?
• Якщо є (… )ⁿ, чи застосував я правило ланцюга й помножив на похідну внутрішнього виразу?
• У формулі для частки: чи правильно стоїть «мінус» у чисельнику і чи піднесений знаменник до квадрата?
• Чи спростив я відповідь настільки, щоб її легко було порівняти з варіантами в тесті?

Уміння знаходити похідну — це не лише про формули. Це про розуміння того, як змінюється функція, а значить — як швидко знаходити зростання/спадання, екстремуми та інші типові завдання НМТ/ЗНО.

Чим більше ти тренуєшся на різних видах виразів, тим швидше «вмикається» правильне правило, а помилки зі знаками й дужками трапляються все рідше. Регулярна практика у вправі допоможе довести ці кроки до автоматизму.