Як знайти розв’язання

1. Уважно прочитай, що треба знайти. У цій вправі найчастіше потрібно обчислити значення похідної в точці: знайти f’(x), а потім підставити задане x = a і отримати число f’(a).
2. Знайди похідну функції за правилами. Використай таблицю похідних і правила: сума/різниця, добуток, частка, степенева функція, ланцюгове правило (якщо є дужки та “складна” функція).
3. Спрости вираз для похідної. Зведи подібні доданки, акуратно попрацюй із дробами, степенями та дужками, щоб підстановка була легкою і без помилок.
4. Підстав значення точки. Підстав у f’(x) число a, уважно постав дужки, якщо a від’ємне або є дроби, і обчисли f’(a).
5. Перевір логіку відповіді. Оціни знак і “розмір” результату: якщо функція зростає біля точки — похідна має бути додатною, якщо спадає — від’ємною; якщо графік “плаский” — похідна близька до нуля.

Приклади

• f(x) = 3x^2 − 5x + 1, знайти f’(2) — спочатку знаходимо похідну: f’(x) = 6x − 5 (бо (3x^2)’ = 6x, (−5x)’ = −5, (1)’ = 0). Далі підставляємо x = 2: f’(2) = 6·2 − 5 = 12 − 5 = 7. Висновок: швидкість зміни в точці 2 дорівнює 7.
• f(x) = 1/x, знайти f’(−2) — пам’ятаємо, що 1/x = x^−1, тому f’(x) = −1·x^−2 = −1/x^2. Підставляємо −2: f’(−2) = −1/(−2)^2 = −1/4. Діти часто думають, що “мінус зникне, бо квадрат”, але мінус стоїть перед дробом і нікуди не дівається.
• f(x) = (x^2 + 1)(x − 3), знайти f’(3) — тут добуток, тож використовуємо правило: (uv)’ = u’v + uv’. Нехай u = x^2 + 1, тоді u’ = 2x; v = x − 3, тоді v’ = 1. Маємо f’(x) = 2x(x − 3) + (x^2 + 1)·1. Тепер підставляємо x = 3: f’(3) = 2·3·(3 − 3) + (9 + 1) = 6·0 + 10 = 10. Діти часто роблять помилку й спочатку підставляють x = 3 у f(x), отримують 0, а тоді думають, що похідна теж 0, але похідна — це інша функція, її треба знайти окремо.
• f(x) = (2x + 1)/(x − 1), знайти f’(2) — це частка, застосовуємо формулу: (u/v)’ = (u’v − uv’)/v^2. u = 2x + 1, u’ = 2; v = x − 1, v’ = 1. Тоді f’(x) = (2(x − 1) − (2x + 1)·1)/(x − 1)^2 = (2x − 2 − 2x − 1)/(x − 1)^2 = (−3)/(x − 1)^2. Підставляємо 2: f’(2) = −3/(1)^2 = −3. Діти часто плутають порядок у чисельнику (u’v − uv’), але якщо поміняти місцями — знак відповіді стане неправильним.
• f(x) = (x^3 − 2x)^2, знайти f’(1) — це складена функція, працює ланцюгове правило: (g(x))^2’ = 2g(x)·g’(x). Нехай g(x) = x^3 − 2x, тоді g’(x) = 3x^2 − 2. Отже f’(x) = 2(x^3 − 2x)(3x^2 − 2). Підставляємо 1: f’(1) = 2(1 − 2)(3 − 2) = 2(−1)·1 = −2. Висновок: біля x = 1 функція спадає, бо похідна від’ємна.

Стратегії для тренування

• Після кожного завдання роби “швидку перевірку”: чи не забув(ла) про похідну константи (вона 0) і чи правильно розкрив(ла) дужки.
• Тренуй окремо правила: 5 прикладів лише на степеневі функції, 5 — на добуток, 5 — на частку, 5 — на ланцюгове правило.
• Під час підстановки від’ємних чисел завжди став дужки: наприклад, (−2)^2, (−2)^3, щоб не переплутати знак.
• Звикай скорочувати вираз для f’(x) перед підстановкою: так менше шансів помилитися в обчисленнях.

Самоперевірка

• Чи точно я спочатку знайшов(ла) f’(x), а вже потім обчислив(ла) f’(a)?
• Яке правило я використав(ла): сума, добуток, частка чи ланцюгове? Чи підходить воно саме тут?
• Чи правильно я взяв(ла) похідну степеня (x^n)’ = n·x^(n−1)?
• Чи поставив(ла) дужки при підстановці від’ємного числа або дробу?
• Чи не загубив(ла) я мінус під час перетворень і скорочень?
• Чи узгоджується знак f’(a) з тим, як функція має поводитися біля точки (зростає/спадає)?

Уміння знаходити похідну в точці — це базова навичка для завдань ЗНО/НМТ: вона допомагає швидко відповідати на питання про швидкість зміни, зростання й спадання функції та нахил дотичної.

Коли ти відпрацьовуєш ці кроки до автоматизму, зникають типові “дрібні” помилки з дужками, знаками й формулами, а розв’язання стає швидшим і впевненішим.