Як знайти розв’язання

1. Прочитай умову й визнач тип задачі. Це може бути: знайти похідну, проміжки зростання/спадання, точки максимуму/мінімуму, найбільше/найменше значення на відрізку або задача на оптимізацію.
2. Знайди похідну f′(x). Акуратно застосуй правила диференціювання (сума, добуток, частка, степінь, тригонометричні та показникові/логарифмічні функції, якщо є).
3. Знайди критичні точки. Розв’яжи f′(x)=0 і врахуй точки, де похідна не існує (але сама функція існує). Не забудь про обмеження області визначення.
4. Проаналізуй знак похідної. Розбий числову пряму критичними точками, визнач знак f′(x) на кожному проміжку й зроби висновок: де функція зростає, де спадає, де можливий максимум/мінімум.
5. Запиши відповідь у потрібному форматі й перевір. Для екстремумів — значення x і (за потреби) f(x). Для відрізка — порівняй значення в критичних точках усередині та на кінцях. Для оптимізації — перевір, що знайдене значення справді найкраще і відповідає змісту задачі.

Приклади

• Знайти похідну: f(x)=3x^4−5x+2 — диференціюємо почленно: (3x^4)′=12x^3, (−5x)′=−5, (2)′=0, отже f′(x)=12x^3−5. Діти часто «зменшують» степінь неправильно (пишуть 3x^3), але правильне правило: множимо на степінь і віднімаємо 1.
• Дослідити на зростання/спадання: f(x)=x^3−3x — 1) знаходимо похідну: f′(x)=3x^2−3=3(x−1)(x+1); 2) критичні точки: x=−1 і x=1; 3) визначаємо знак f′(x): при x<−1 похідна додатна, на (−1,1) від’ємна, при x>1 додатна; 4) висновок: зростає на (−∞,−1) і (1,∞), спадає на (−1,1).
• Знайти точки екстремуму: f(x)=x^2−4x+1 — 1) f′(x)=2x−4; 2) f′(x)=0 ⇒ 2x−4=0 ⇒ x=2; 3) перевіряємо зміну знака: при x<2 похідна від’ємна, при x>2 додатна, отже в x=2 мінімум; 4) значення функції: f(2)=4−8+1=−3, тобто мінімум у точці (2; −3). Діти часто думають, що «якщо f′(x)=0, то це максимум», але це може бути і мінімум, і навіть не екстремум — треба перевіряти знак або другу похідну.
• Найбільше/найменше значення на відрізку: f(x)=x^3−3x на [−2;2] — 1) f′(x)=3x^2−3, критичні точки: x=−1, 1 (обидві всередині відрізка); 2) рахуємо значення в кандидатах і на кінцях: f(−2)=−8+6=−2, f(−1)=−1+3=2, f(1)=1−3=−2, f(2)=8−6=2; 3) порівнюємо: найбільше значення 2 (у x=−1 та x=2), найменше −2 (у x=−2 та x=1). Діти часто перевіряють тільки точки, де f′(x)=0, але на відрізку обов’язково перевіряй ще й кінці.
• Оптимізація (геометрія): периметр прямокутника 20 см. Яка найбільша площа? — 1) нехай сторони x і y, тоді 2x+2y=20 ⇒ y=10−x; 2) площа S(x)=x(10−x)=10x−x^2; 3) S′(x)=10−2x, S′(x)=0 ⇒ x=5; 4) y=10−5=5, отже найбільша площа при квадраті 5×5, S=25. Діти часто забувають про обмеження: x має бути між 0 і 10, інакше «сторона» стане від’ємною.

Стратегії для тренування

• Після кожного завдання коротко підписуй: «тип задачі» (монотонність / екстремум / відрізок / оптимізація) — так швидше впізнаватимеш формат на НМТ.
• Завжди роби міні-таблицю знаків для f′(x): точки розбиття → знак → висновок.
• Тренуй «швидкі похідні»: 10–15 прикладів на правила диференціювання щодня, щоб не втрачати бали на арифметиці.
• У задачах на оптимізацію спочатку випиши, що саме треба максимізувати/мінімізувати (площа, об’єм, вартість), і тільки потім вводь змінну.
• Після відповіді роби перевірку здоровим глуздом: чи може величина бути від’ємною, чи підходить знайдене x до області визначення.

Самоперевірка

• Чи правильно я знайшов(ла) область визначення функції й не загубив(ла) обмеження?
• Чи обчислив(ла) похідну без помилок у степенях, знаках і дужках?
• Чи врахував(ла) всі критичні точки: і розв’язки f′(x)=0, і місця, де f′(x) не існує?
• Чи зробив(ла) висновок про зростання/спадання саме за знаком f′(x), а не «на око»?
• Якщо це відрізок: чи порівняв(ла) значення функції в критичних точках і на кінцях?
• Якщо це оптимізація: чи відповідає знайдений результат змісту задачі (довжини додатні, одиниці виміру логічні)?

Уміння застосовувати похідну — це не про «вивчити формули напам’ять», а про чіткий план дій: похідна → критичні точки → знак → висновок. Коли цей алгоритм стає звичкою, завдання з НМТ виконуються швидше й спокійніше.

Тренуйся регулярно: навіть кілька прикладів щодня добре «прокачують» уважність і логіку. А це саме те, що найчастіше приносить додаткові бали на тесті.