Як знайти розв’язання

1. Уважно прочитай, яка саме функція задана. Це може бути y = xⁿ, y = x^-n, y = x^p/q або y = a·xⁿ. Від показника степеня залежить майже все: область визначення, симетрія, вигляд графіка.
2. Знайди область визначення (ОДЗ). Перевір, чи можна підставляти x = 0, чи є корінь парного степеня (тоді x ≥ 0), чи є від’ємний показник (тоді x ≠ 0).
3. Визнач парність і симетрію графіка. Для y = xⁿ: якщо n парне — функція парна (симетрія відносно осі Oy), якщо n непарне — непарна (симетрія відносно початку координат).
4. Оціни поведінку: зростає/спадає, що відбувається біля нуля та на великих |x|. Для додатного n графік «йде вгору» при великих |x|, а для від’ємного n — прямує до 0 при великих |x| і має «проблему» в точці x = 0.
5. Зістав із типовими графіками та перевір ключові точки. Зручно підставити x = 1, x = -1 (якщо можна), x = 0 (якщо можна) і зробити швидку перевірку знаків та симетрії.

Приклади

• Функція y = x⁴ — показник парний і додатний: ОДЗ усі дійсні x; y ≥ 0 для будь-якого x; графік симетричний відносно осі Oy і проходить через (0;0) та (1;1). Діти часто думають, що при x = -1 буде y = -1, але правильніше: (-1)⁴ = 1, тобто y додатне.
• Функція y = x³ — показник непарний і додатний: ОДЗ усі дійсні x; при x < 0 значення y < 0, при x > 0 значення y > 0; графік симетричний відносно початку координат і проходить через (0;0), (1;1), (-1;-1). Отже, це «S-подібний» графік, що зростає на всій області.
• Функція y = x^-2 — від’ємний показник: ОДЗ x ≠ 0, бо ділити на нуль не можна; y = 1/x² завжди додатне; є дві вітки графіка в I та II чвертях, симетрія відносно осі Oy, біля x = 0 значення дуже великі. Діти часто думають, що «мінус у степені робить значення від’ємним», але правильніше: мінус означає обернене число, а знак визначає квадрат у знаменнику.
• Функція y = x^-3 — від’ємний і непарний показник: ОДЗ x ≠ 0; y = 1/x³ має знак такий самий, як x (для від’ємних x — від’ємні y); дві вітки в I та III чвертях; симетрія відносно початку координат; при великих |x| значення наближаються до 0. Діти часто плутають з y = 1/x² і малюють обидві вітки «вгорі», але правильніше: через непарний степінь одна вітка буде внизу (III чверть).
• Функція y = x^1/2 — це y = √x: ОДЗ x ≥ 0, бо корінь парного степеня з від’ємного числа в дійсних не існує; y ≥ 0; графік починається в (0;0) і повільно зростає. Якщо в тесті є варіант із частиною графіка при x < 0, його одразу відкидаємо.
• Функція y = x^2/3 — це y = ∛(x²): ОДЗ усі дійсні x, бо кубічний корінь можна брати і з від’ємних чисел; значення y ≥ 0, бо всередині стоїть x²; функція парна (симетрія відносно Oy). Діти часто думають, що «дробовий показник = тільки x ≥ 0», але правильніше перевірити, який саме корінь: непарний (3) дозволяє всі x.

Стратегії для тренування

• Складай «шпаргалку ознак»: парний/непарний показник, додатний/від’ємний, дробовий з парним або непарним коренем — і що це означає для ОДЗ та симетрії.
• Перед вибором відповіді завжди перевіряй 2–3 контрольні точки: x = 1, x = -1 (якщо можна), x = 0 (якщо можна).
• Тренуйся швидко визначати, у яких чвертях лежить графік: це часто вирішує завдання за 10–15 секунд.
• Порівнюй «пари-двійники»: x² і x³, 1/x² і 1/x³, √x і ∛x — щоб чітко бачити різницю.
• Після кожної помилки записуй, що саме переплутав: ОДЗ, знак, парність чи поведінку біля нуля.

Самоперевірка

• Чи правильно я визначив(ла) ОДЗ? (Чи не забув(ла) про x ≠ 0 або x ≥ 0?)
• Чи знаю, парна чи непарна функція, і яку симетрію має графік?
• Чи розумію, де значення додатні/від’ємні, і в яких чвертях буде графік?
• Чи перевірив(ла) хоча б дві контрольні точки (наприклад, x = 1 та x = -1)?
• Чи врахував(ла) різницю між x² і 1/x² (поведінка біля нуля та на великих |x|)?

Степенева функція — це тема, яка часто «зшиває» різні розділи математики: перетворення виразів, графіки, нерівності та аналіз функцій. Коли ти швидко бачиш властивості за показником степеня, багато завдань ЗНО/НМТ розв’язуються майже без обчислень.

Регулярна практика у вправах допомагає довести ці кроки до автоматизму: спочатку ОДЗ, потім симетрія й знак, далі — поведінка графіка. Це економить час на тесті й зменшує кількість прикрих помилок у «дрібницях».