Як знайти розв’язання

1. Переконайся, що це арифметична прогресія. Подивись, чи різниця між сусідніми членами однакова (наприклад, +3, +3, +3) або це прямо написано в умові.
2. Випиши потрібні дані. Знайди (або обчисли) перший член a₁, різницю d, кількість членів n і, якщо дано, останній член a_n.
3. Обери зручну формулу суми. Найчастіше використовують S_n = (a₁ + a_n)·n/2 або S_n = (2a₁ + (n−1)d)·n/2.
4. Акуратно підстав числа й порахуй. Особливо уважно працюй із n, від’ємними числами та дробами; спочатку спрощуй, потім множ.
5. Перевір логікою. Оціни, чи відповідь схожа на правду: якщо члени зростають, сума має бути більшою за n·a₁; якщо багато від’ємних — сума може бути від’ємною.

Приклади

• 1, 4, 7, 10, … (n = 8) — бачимо, що d = 3, a₁ = 1. Знаходимо a₈ = a₁ + (8−1)·d = 1 + 7·3 = 22. Тепер S₈ = (a₁ + a₈)·8/2 = (1 + 22)·4 = 92.
• a₁ = 5, d = −2, n = 10 — прогресія спадає, тому сума може вийти невеликою. Обчислюємо a₁₀ = 5 + 9·(−2) = 5 − 18 = −13. Далі S₁₀ = (5 + (−13))·10/2 = (−8)·5 = −40. Діти часто забувають, що d від’ємне, і підставляють +2, але правильніше зберегти знак «−» у всіх обчисленнях.
• a₁ = 1/2, d = 1/2, n = 6 — зручно спершу знайти a₆: a₆ = 1/2 + 5·1/2 = 1/2 + 5/2 = 3. Тоді S₆ = (1/2 + 3)·6/2 = (7/2)·3 = 21/2 = 10,5. Діти часто додають дроби «по-окремо» неправильно (наприклад, 1/2 + 3 = 4/2), але правильніше 3 = 6/2, тож 1/2 + 6/2 = 7/2.
• a_n = 37, d = 4, n = 10 — спершу відновлюємо a₁: a_n = a₁ + (n−1)d, отже a₁ = 37 − 9·4 = 37 − 36 = 1. Тепер S₁₀ = (1 + 37)·10/2 = 38·5 = 190.
• Знайти S_n, якщо a₁ = 3, d = 3, a_n = 30 — спершу знаходимо n: 30 = 3 + (n−1)·3 ⇒ 27 = 3(n−1) ⇒ n−1 = 9 ⇒ n = 10. Тепер S₁₀ = (3 + 30)·10/2 = 33·5 = 165. Діти часто ділять 27 на 3 і одразу пишуть n = 9, але правильніше пам’ятати, що це n−1.

Стратегії для тренування

• Після кожної задачі швидко перевіряй себе: чи правильний знак у d і чи не переплутав n з n−1.
• Тренуйся обирати формулу: якщо є a₁ і a_n — бери (a₁ + a_n)·n/2; якщо є a₁, d, n — бери (2a₁ + (n−1)d)·n/2.
• Працюй з дробами так: спочатку зводь до спільного знаменника, потім скорочуй перед множенням.
• Роби «оцінку відповіді»: приблизно прикинь середній член і помнож на n — це допомагає помітити грубу помилку.

Самоперевірка

• Я точно визначив(ла), що різниця d між сусідніми членами однакова?
• Я правильно знайшов(ла) n (не переплутав(ла) n і n−1)?
• Яку формулу для S_n я вибрав(ла) і чому вона тут найзручніша?
• Чи не загубив(ла) я знак «−» під час підстановки та обчислень?
• Моя відповідь виглядає логічно (за знаком і приблизним розміром)?

Уміння швидко знаходити суму перших n членів арифметичної прогресії дуже допомагає на ЗНО/НМТ: ти економиш час і менше ризикуєш заплутатись у довгих обчисленнях.

Коли формули та кроки стають звичними, ти починаєш розв’язувати такі завдання майже автоматично: уважно читаєш умову, правильно знаходиш потрібні числа й упевнено отримуєш результат.