Як знайти розв’язання

1. Уважно прочитай умову. З’ясуй, що саме треба знайти: де f(x) > 0, де f(x) < 0, де f(x) = 0, або проміжки зростання/спадання.
2. Знайди ключові точки. Для знакосталості це нулі функції (де f(x)=0). Для монотонності — критичні точки (зазвичай там, де f′(x)=0 або не існує), а також межі заданої області.
3. Розбий вісь x на проміжки. Запиши проміжки між знайденими точками та перевір на кожному проміжку знак f(x) або поведінку (зростає/спадає).
4. Перевір знак або монотонність на проміжках. Можна підставити «тестову» точку в проміжку (для знакосталості) або проаналізувати знак похідної/нахил графіка (для монотонності).
5. Запиши відповідь правильно. Стеж за дужками: круглі — якщо кінець не входить, квадратні — якщо входить. Нулі функції зазвичай входять у множину f(x)=0, але не входять у проміжки f(x)>0 чи f(x)<0.

Приклади

• f(x) = (x−2)(x+1) — Спочатку знайди нулі: x=2 і x=−1. Вони ділять вісь на проміжки (−∞;−1), (−1;2), (2;+∞). Перевір знак на кожному: візьми x=−2 → (−4)(−1)=4 > 0, отже на (−∞;−1) f(x)>0; візьми x=0 → (−2)(1)=−2 < 0, отже на (−1;2) f(x)<0; візьми x=3 → (1)(4)=4 > 0, отже на (2;+∞) f(x)>0. Діти часто думають, що в точках −1 і 2 теж «плюс» або «мінус», але там f(x)=0, тому ці точки не включаються в проміжки f(x)>0 чи f(x)<0.
• f(x) = −(x−1)(x−4) — Нулі: x=1 і x=4. Далі важливо не забути «мінус» перед дужками: він перевертає знак на всіх проміжках. Перевір: x=0 → −(−1)(−4)=−(4)=−4 < 0, отже на (−∞;1) f(x)<0; x=2 → −(1)(−2)=2 > 0, отже на (1;4) f(x)>0; x=5 → −(4)(1)=−4 < 0, отже на (4;+∞) f(x)<0. Типова помилка: учні знаходять нулі правильно, але забувають про мінус і міняють місцями «плюс» та «мінус».
• Графік перетинає вісь Ox у точках x=−3 та x=2 і між ними розташований вище осі — Для знакосталості: де графік вище Ox, там f(x)>0, а де нижче — f(x)<0. Отже, на (−3;2) f(x)>0. Ліворуч від −3 і праворуч від 2 графік нижче осі, тому на (−∞;−3) і (2;+∞) f(x)<0. У точках x=−3 та x=2 маємо f(x)=0.
• f′(x) = (x−1)(x+3) — Знайди критичні точки: x=1 і x=−3 (бо там f′(x)=0). Вони ділять вісь на (−∞;−3), (−3;1), (1;+∞). Перевір знак похідної: x=−4 → (−5)(−1)=5 > 0, значить f зростає на (−∞;−3); x=0 → (−1)(3)=−3 < 0, значить f спадає на (−3;1); x=2 → (1)(5)=5 > 0, значить f зростає на (1;+∞). Діти часто думають, що якщо f′(x)=0, то це обов’язково максимум або мінімум, але правильніше так: це лише «підозріла» точка, а висновок робимо за зміною знака f′(x).
• Графік функції йде вгору до x=0, потім вниз до x=4, а далі знову вгору — Для монотонності просто рухайся зліва направо: якщо графік піднімається, то функція зростає, якщо опускається — спадає. Отже, зростає на (−∞;0), спадає на (0;4), зростає на (4;+∞). Типова помилка: плутати «вище/нижче осі» (це знакосталість) із «вгору/вниз» (це монотонність). Це різні питання.

Стратегії для тренування

• Після знаходження ключових точок одразу малюй «лінійку проміжків» на чернетці та підписуй знаки/стрілки.
• Для знакосталості завжди перевіряй знак на кожному проміжку тестовою точкою (це швидко і надійно).
• Для монотонності тренуйся читати графік: «йде вгору» = зростає, «йде вниз» = спадає.
• Окремо відпрацьовуй запис відповіді: дужки, об’єднання проміжків, точки, де f(x)=0.
• Після розв’язання роби швидку перевірку: чи логічно виглядає чергування знаків/проміжків.

Самоперевірка

• Я точно визначив(ла), що шукаю: знакосталість (f(x)>0 / f(x)<0) чи монотонність (зростає/спадає)?
• Я знайшов(ла) всі ключові точки (нулі функції або критичні точки) і не пропустив(ла) межі області визначення, якщо вона задана?
• Я правильно розбив(ла) вісь на проміжки і перевірив(ла) кожен проміжок?
• Я не включив(ла) точки, де f(x)=0, у проміжки f(x)>0 або f(x)<0?
• Я правильно записав(ла) відповідь у вигляді проміжків і поставив(ла) потрібні дужки?

Уміння швидко визначати знакосталість і монотонність допомагає «бачити» поведінку функції без зайвих обчислень. Це одна з тих навичок, яка часто економить час на ЗНО/НМТ і дає впевненість у відповідях.

Чим більше ти тренуєшся, тим легше помічаєш ключові точки та не плутаєш знак із напрямом графіка. А це вже міцна база для складніших тем: екстремумів, дослідження функцій і побудови графіків.