Як знайти розв’язання

1. Зрозумій, що шукаєш. Потрібно знайти граничне значення $\sin i_{гр}$ — такого кута падіння на першу грань, за якого промінь уже не виходить назовні (на другій грані настає повне внутрішнє відбиття).
2. Знайди критичний кут для виходу з призми. На межі «призма (n=2) → повітря (n≈1)» критичний кут $r_{кр}$ задається умовою $\sin r_{кр}=\frac{1}{n}$. Тут $n=2$, отже $\sin r_{кр}=0.5$.
3. Зв’яжи кути всередині призми. Для тригранної призми виконується $r_1+r_2=A$, де $A$ — заломлюючий кут призми. На межі «не виходить» береш $r_2=r_{кр}$, тоді $r_1=A-r_{кр}$.
4. Знайди $\sin r_1$ через дані $\sin A$ і $\cos A$. Використай формулу різниці: $\sin (A-r_{кр})=\sin A\cdot \cos r_{кр}-\cos A\cdot \sin r_{кр}$. Тут $\sin A=0.81$, $\cos A=0.59$, а $\cos r_{кр}=\sqrt{1-{(0.5)}^2}$.
5. Застосуй закон заломлення на першій грані. Для «повітря → призма» маємо $\sin i=n\cdot \sin r_1$ (бо $n_{пов}\approx 1$, $n_{пр}=2$). Це і є шукане граничне значення. Потім обери варіант у списку.

Приклади

• Дано: $n=2$. Знайти: $\sin r_{кр}$ — Ти одразу береш формулу критичного кута: $\sin r_{кр}=\frac{1}{n}$. Підставляєш $n=2$ і отримуєш $\sin r_{кр}=0.5$. Це межа, коли промінь ще «ковзає» по поверхні.
• Дано: $\sin A=0.81$, $\cos A=0.59$, $\sin r_{кр}=0.5$. Знайти: $\cos r_{кр}$ — Ти використовуєш тотожність: $\cos r_{кр}=\sqrt{1-{(\sin r_{кр})}^2}$. Обчислюєш: $\sqrt{1-0.25}$. Діти часто забувають корінь і пишуть $1-0.25$, але правильніше саме $\sqrt{1-0.25}$.
• Умова: «На межі промінь не виходить». Записати, що робити з кутами в призмі — Ти ставиш граничний випадок: $r_2=r_{кр}$. Далі береш зв’язок у призмі: $r_1+r_2=A$. Отже $r_1=A-r_{кр}$. Це кут, який потрібен для першої грані.
• Дано: $\sin A=0.81$, $\cos A=0.59$. Потрібно: вираз для $\sin r_1$, якщо $r_1=A-r_{кр}$ — Ти не шукаєш сам кут $A$ у градусах. Ти одразу застосовуєш формулу: $\sin r_1=\sin A\cdot \cos r_{кр}-\cos A\cdot \sin r_{кр}$. Діти часто плутають знак і ставлять «плюс», але тут саме «мінус», бо це різниця кутів.
• Дано: $n=2$ і знайдено $\sin r_1$. Знайти: граничне $\sin i$ — Ти застосовуєш закон заломлення на першій грані: $\sin i=n\cdot \sin r_1$. Діти часто ділять на $n$, але це було б для зворотного переходу «призма → повітря». Тут промінь входить у призму, тому множиш на $n$.

Стратегії для тренування

• Завжди підкреслюй, де промінь входить, а де виходить. Це підкаже, де шукати критичний кут.
• Пиши окремо два кроки: (1) критичний кут, (2) зв’язок кутів у призмі $r_1+r_2=A$.
• Не переводь $A$ у градуси. Працюй з даними $\sin A$ і $\cos A$ через формули додавання/різниці.
• Після обчислень зроби швидку перевірку: шуканий $\sin i$ має бути в межах від 0 до 1.

Самоперевірка

• Ти точно взяв критичний кут для межі «призма → повітря», а не навпаки?
• Ти записав граничну умову як $r_2=r_{кр}$, а не $r_1=r_{кр}$?
• Ти використав зв’язок $r_1+r_2=A$ і отримав $r_1=A-r_{кр}$?
• У формулі для $\sin (A-r_{кр})$ ти поставив «мінус» між добутками?
• Твій результат для $\sin i$ не виходить за межі 0…1?

У таких задачах ти вчишся бачити межу між «промінь виходить» і «промінь замикається всередині». Це і є суть повного внутрішнього відбиття.

Коли ти чітко розділяєш: критичний кут, зв’язок кутів у призмі, закон заломлення на першій грані — ти майже не помиляєшся і швидко знаходиш правильний варіант відповіді.