Як знайти розв’язання

1. Запиши, що дано: маєш функцію (формулу) або її графік і завдання: знайти точки максимуму/мінімуму або найбільше/найменше значення на проміжку.
2. Знайди критичні точки: обчисли похідну f'(x) і розв’яжи f'(x)=0; також перевір, де похідна не існує (якщо такі точки входять у область визначення).
3. Перевір знак похідної на проміжках: розбий вісь x критичними точками й визнач, де f'(x)>0 (функція зростає), а де f'(x)<0 (функція спадає).
4. Зроби висновок про екстремум: якщо знак f'(x) змінюється з «+» на «−», то в точці максимум; якщо з «−» на «+», то мінімум. Якщо знак не змінюється — екстремуму немає.
5. Не забудь про проміжок (якщо він заданий): для найбільшого/найменшого значення на [a;b] порівняй значення функції в критичних точках, що лежать усередині, і на кінцях a та b.

Приклади

• f(x)=x²−4x+1 — Знаходимо похідну: f'(x)=2x−4. Розв’язуємо 2x−4=0, маємо x=2. Перевіряємо знак: при x<2 (наприклад, 0) f'(0)=−4<0, отже функція спадає; при x>2 (наприклад, 3) f'(3)=2>0, отже зростає. Зміна «−» на «+» означає мінімум у x=2. Значення: f(2)=4−8+1=−3, тож точка мінімуму (2; −3).
• f(x)=−x²+2x+3 — f'(x)=−2x+2. Розв’язуємо −2x+2=0, отже x=1. Перевіряємо знак: при x<1 f'(0)=2>0 (зростає), при x>1 f'(2)=−2<0 (спадає). Зміна «+» на «−» дає максимум у x=1. Обчислюємо f(1)=−1+2+3=4, тобто максимум у точці (1; 4). Діти часто думають, що «якщо парабола вниз, то максимум завжди в нулі», але вершина не обов’язково над x=0 — її знаходять через похідну або формулу.
• f(x)=x³−3x — f'(x)=3x²−3=3(x²−1)=3(x−1)(x+1). Критичні точки: x=−1 і x=1. Далі таблиця знаків: на (−∞;−1) беремо x=−2: f'(−2)=9>0 (зростає); на (−1;1) беремо x=0: f'(0)=−3<0 (спадає); на (1;∞) беремо x=2: f'(2)=9>0 (зростає). Отже в x=−1 маємо зміну «+»→«−» (максимум), а в x=1 зміну «−»→«+» (мінімум). Значення: f(−1)=−1+3=2, f(1)=1−3=−2.
• f(x)=|x| — Похідна в x=0 не існує, тож x=0 є критичною точкою. Дивимось поведінку: на (−∞;0) функція спадає (наприклад, від 3 до 2 до 1 до 0), а на (0;∞) зростає. Це означає мінімум у x=0, і f(0)=0. Діти часто думають, що «якщо похідної немає, то це помилка і точку треба викинути», але навпаки: такі точки обов’язково перевіряють на екстремум.
• Знайти найбільше й найменше значення f(x)=x³−3x на відрізку [−2;2] — Спочатку критичні точки з попереднього прикладу: x=−1 і x=1 (обидві всередині відрізка). Тепер рахуємо значення в чотирьох точках: f(−2)=−8+6=−2, f(−1)=2, f(1)=−2, f(2)=8−6=2. Порівнюємо: найбільше значення 2 (досягається при x=−1 і x=2), найменше −2 (при x=−2 і x=1). Діти часто перевіряють лише критичні точки, але на відрізку потрібно ще й кінці.

Стратегії для тренування

• Після кожного розв’язання роби коротку «перевірку зміни знака»: було «+», стало «−» чи навпаки — і одразу підписуй максимум/мінімум.
• Тренуйся швидко будувати таблицю знаків f'(x): розкладай похідну на множники, якщо це можливо.
• Розв’язуй парні завдання: спочатку знайди екстремуми, а потім — найбільше/найменше на відрізку для тієї ж функції.
• Порівнюй два способи: «через похідну» і «за графіком» (якщо графік дано), щоб звикнути читати підйоми й спади.

Самоперевірка

• Я знайшов(ла) всі точки, де f'(x)=0, і всі точки, де f'(x) не існує?
• Я правильно розбив(ла) вісь x на проміжки та перевірив(ла) знак похідної на кожному з них?
• У кожній критичній точці я перевірив(ла) саме зміну знака, а не лише факт f'(x)=0?
• Якщо завдання про відрізок [a;b], я підставив(ла) у f(x) і критичні точки, і кінці відрізка?
• Мій висновок узгоджується з графічним змістом: у максимумі «горбик», у мінімумі «улоговинка»?

Уміння знаходити екстремуми функції — це ключ до багатьох задач ЗНО/НМТ: від аналізу графіків до пошуку найбільшого й найменшого значення. Коли ти впевнено працюєш із похідною та проміжками зростання/спадання, завдання стають передбачуваними й «розкладаються по кроках».

Регулярно тренуй алгоритм: критичні точки → знаки похідної → висновок. Так ти менше помилятимешся в дрібницях і швидше бачитимеш, де саме функція змінює свою поведінку.