Чому під час ділення дробів обертаємо саме другий дріб

Ділення дробів: скільки частин уміститься

Уявімо, що є $\frac{3}{4}$ м стрічки, а для одного бантика потрібно $\frac{1}{8}$ м. Скільки бантиків можна зробити без залишку? Тут шукаємо, скільки коротких відрізків уміститься в довгому.

Спершу оцініть: відрізок для одного бантика коротший за наявну стрічку, тож бантиків має бути більше ніж один.

Три чверті — це шість восьмих. Отже, маємо шість відрізків по одній восьмій метра:

$$\frac{3}{4}=\frac{6}{8},\frac{3}{4}:\frac{1}{8}=6.$$

Відповідь: 6 бантиків.

Чому обертаємо дільник, а не ділене

У виразі $\frac{3}{4}:\frac{1}{8}$ ділене — перший дріб, дільник — другий, а результат називаємо часткою. Для перевірки частку множимо на дільник й отримуємо ділене.

Позначимо шукану частку через $x$. Тоді вона має задовольняти рівність:

$$x\cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{4}.$$

Обернений до $\frac{1}{8}$ дріб — $\frac{8}{1}$, адже $\frac{1}{8}\cdot \frac{8}{1}=1$. Помножимо обидві частини рівності на $\frac{8}{1}$:

$$x\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{8}{1}=\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{1}.$$

Ліворуч біля $x$ залишається множник $1$. Отримуємо:

$$x=\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{1}=6.$$

Ми перетворили на одиницю множник-дільник біля $x$. Тому обертаємо саме другий дріб, а ділене залишаємо першим множником нового добутку.

Обернений до ненульового дробу отримуємо, помінявши місцями чисельник і знаменник. Наприклад, $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$. Отже, поділити на ненульовий дріб — означає помножити на обернений до нього.

Дільник не може дорівнювати нулю: оберненого до нуля числа немає.

Як ділити дроби й скорочувати добуток

Виконаймо приклад із двома правильними дробами. Перший залишаємо незмінним, ділення замінюємо множенням, а другий дріб обертаємо:

$$\frac{3}{4}:\frac{9}{10}=\frac{3}{4}\cdot \frac{10}{9}.$$

Тепер скорочуємо множники: $3$ і $9$ — на $3$, а $10$ і $4$ — на $2$. Після скорочення перемножуємо:

$$\frac{3\cdot 10}{4\cdot 9}=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 3}=\frac{5}{6}.$$

Скорочення не змінює значення дробу: його чисельник і знаменник ділимо на однаковий ненульовий множник. Для цього алгоритму спочатку запишіть добуток, а вже потім скорочуйте множники чисельника зі знаменником.

Що робити з натуральним і мішаним числом

Натуральне число

Натуральне число в будь-якій позиції записуємо дробом зі знаменником $1$. Змінимо лише дільник початкового прикладу: замість $\frac{1}{8}$ візьмемо $2$.

$$\frac{3}{4}:2=\frac{3}{4}:\frac{2}{1}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}.$$

Тепер ідеться про дві рівні частини стрічки. Якщо поділити наявні $\frac{3}{4}$ м порівну, кожна частина матиме довжину $\frac{3}{8}$ м.

Мішане число

Спочатку перетворіть мішане число на неправильний дріб: цілу частину помножте на знаменник і додайте чисельник. Знаменник залиште тим самим:

$$1\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 2+1}{2}=\frac{3}{2}.$$

Після цього застосуйте правило ділення:

$$1\frac{1}{2}:\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}=2.$$

Якщо мішане число стоїть другим, обертайте вже отриманий неправильний дріб, а не лише дробову частину мішаного числа. Наприклад, для $1\frac{1}{2}$ оберненим буде $\frac{2}{3}$.

Чому відповідь буває більшою за ділене

Для додатних діленого й дільника можна передбачити результат:

• Дільник менший за $1$ — частка більша за ділене.
• Дільник дорівнює $1$ — ділене не змінюється.
• Дільник більший за $1$ — частка менша за ділене.

Якщо дільник між $0$ і $1$, обернене до нього число більше за $1$. Саме на нього ми множимо. Тому $\frac{3}{4}:\frac{1}{8}=6$, а після заміни дільника на $2$ отримуємо $\frac{3}{4}:2=\frac{3}{8}$.

У задачі зі стрічкою $\frac{3}{4}$ м — це довжина, а $6$ — кількість бантиків. Більший числовий результат не означає, що матеріалу стало більше: ми порахували, скільки малих відрізків у ньому міститься.

Як перевірити відповідь множенням

Помножте знайдену частку на початковий дільник, не на обернений дріб. Має вийти ділене.

Для стрічки:

$$6\cdot \frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$$

Шість відрізків по $\frac{1}{8}$ м разом дають початкові $\frac{3}{4}$ м. Отже, стрічки вистачає рівно на шість бантиків, залишку немає.

Для прикладу з мішаним числом:

$$2\cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}.$$

Отримали початкове ділене, тож відповідь правильна. Оцінка величини частки допомагає помітити невідповідність, але не замінює цієї точної перевірки.

Орієнтир для домашньої практики

У модельній програмі Мерзляка та інших для 6 класу передбачено арифметичні дії зі звичайними дробами, прогнозування результату та перевірку оберненою дією. МОН публікує кілька модельних програм із математики для 5–6 класів. Звіряйте послідовність тем із програмою та підручником вашого класу.

Для закріплення відкрийте вправу на ділення дробів й після кожної відповіді запишіть перевірку множенням.

Джерела

• Модельна програма з математики для 5–6 класів — Мерзляк та інші
• Модельні навчальні програми для 5–9 класів на сайті МОН