Учень крок за кроком розбирає трикутник і вчиться впевнено застосовувати теорему косинусів.

Теорема косинусів: кроки й приклади для учнів

Розберіть теорему косинусів без зайвого перевантаження: коли її застосовувати, як підставляти числа у формулу, як перевіряти відповідь і підтримати дитину під час тренування.

від Петро Спатар

трав 10, 2026

Теорема косинусів: що вона дає в задачах

Рис. 1 — Теорема косинусів допомагає знайти сторону або кут у довільному трикутнику.

Коротко: теорема косинусів пов’язує три сторони трикутника з косинусом одного кута. Вона особливо корисна тоді, коли трикутник не прямокутний і звичайної теореми Піфагора вже недостатньо.

Якщо учень упевнено знає формулу, розуміє, яку величину шукає, і вміє акуратно підставляти числа, більшість типових задач стає передбачуваною. На Learning.ua можна окремо потренувати теорему косинусів у форматі коротких завдань.

Формула має три рівноцінні записи:

a² = b² + c² − 2bc cos A;
b² = a² + c² − 2ac cos B;
c² = a² + b² − 2ab cos C.

Головна ідея проста: квадрат сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними.

Коли застосовувати теорему косинусів

Рис. 2 — Найзручніший випадок: відомі дві сторони та кут між ними.

Теорема косинусів потрібна не в кожній задачі про трикутники. Її варто обирати, коли є один із таких наборів даних:

відомі дві сторони і кут між ними, потрібно знайти третю сторону;
відомі три сторони, потрібно знайти один із кутів;
трикутник довільний, не прямокутний, і теорема Піфагора не підходить;
у задачі є діагональ, відстань або відрізок, який утворює трикутник із відомими сторонами.

Для прямокутного трикутника формула теж працює. Якщо кут дорівнює 90°, то cos 90° = 0, і теорема косинусів перетворюється на теорему Піфагора.

💡

Порада для батьків: попросіть дитину спочатку назвати, який кут лежить навпроти шуканої сторони. Це часто знімає плутанину з літерами у формулі.

Як розв’язувати задачі за теоремою косинусів: алгоритм

Рис. 3 — Чіткий алгоритм допомагає не загубитися у формулах.

Учням легше працювати не з абстрактною формулою, а з послідовністю дій. Ось базовий алгоритм:

Намалювати трикутник і підписати сторони та кути.
З’ясувати, що відомо: дві сторони й кут між ними чи три сторони.
Обрати правильний запис формули.
Підставити числа без поспіху.
Виконати обчислення: спочатку степені й добутки, потім додавання та віднімання.
Якщо шукаємо сторону, взяти квадратний корінь.
Перевірити, чи відповідь реалістична: сторона має бути додатною і відповідати нерівності трикутника.

Цей підхід схожий на інші математичні теми: наприклад, коли учні вивчають площу прямокутника, вони теж спочатку визначають, що відомо, а вже потім підставляють у формулу. Для повторення базових геометричних дій корисна тема площа прямокутника.

Приклад 1: знайти сторону трикутника

Задача. У трикутнику ABC відомо: AB = 7 см, AC = 5 см, кут A = 60°. Знайти сторону BC.

Позначимо шукану сторону як a = BC. Вона лежить навпроти кута A. Тоді:

a² = b² + c² − 2bc cos A

Підставляємо значення:

a² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos 60°

Оскільки cos 60° = 0,5, маємо:

a² = 25 + 49 − 70 · 0,5 = 74 − 35 = 39

a = √39 ≈ 6,24 см

Відповідь: сторона BC приблизно дорівнює 6,24 см.

Фраза підтримки: «Ти правильно обрав формулу. Тепер залишилося уважно виконати обчислення — це вже технічна частина».

Приклад 2: знайти кут за трьома сторонами

Задача. У трикутнику сторони дорівнюють 6 см, 8 см і 10 см. Знайти кут, що лежить навпроти сторони 10 см.

Нехай шуканий кут — C, а сторона навпроти нього — c = 10. Тоді:

c² = a² + b² − 2ab cos C

Підставляємо:

10² = 6² + 8² − 2 · 6 · 8 · cos C

100 = 36 + 64 − 96 cos C

100 = 100 − 96 cos C

96 cos C = 0, отже cos C = 0, а C = 90°.

Ми отримали прямокутний трикутник. Це хороший приклад того, як теорема косинусів узагальнює теорему Піфагора.

Теорема косинусів і теорема синусів: у чому різниця

Теорема синусів теж працює з довільними трикутниками, але розв’язує інші ситуації. Її формула пов’язує сторони трикутника із синусами протилежних кутів:

a / sin A = b / sin B = c / sin C

Коли вибирати теорему синусів:

відомі сторона і два кути;
відомі дві сторони і кут, що лежить навпроти однієї з них;
потрібно знайти кут або сторону через пропорцію.

Якщо у задачі є кут між двома відомими сторонами, частіше потрібна теорема косинусів. Якщо є пара «сторона — протилежний кут», зручно переходити до теореми синусів. Для тренування цієї теми доречно використати вправи на теорему синусів.

Схеми, приклади й навчальні ситуації, які допомагають краще зрозуміти теорему косинусів.

Типові помилки учнів і як їх виправити

У темі «теорема косинусів» помилки часто виникають не через складність ідеї, а через неуважність до позначень. Ось що варто перевіряти:

Плутають кут. У формулі береться кут між двома відомими сторонами або кут навпроти шуканої сторони.
Забувають мінус. Частина «− 2bc cos A» є обов’язковою.
Не підносять сторони до квадрата. У формулі працюють саме квадрати сторін.
Рано округлюють. Краще округлювати відповідь наприкінці.
Не перевіряють сенс відповіді. Наприклад, сторона не може бути від’ємною.

Корисно порівнювати цю тему з іншими алгоритмічними темами: теорема Вієта в алгебрі теж вимагає уважного співвіднесення коефіцієнтів і коренів, а площа трапеції — правильного розпізнавання основ і висоти. Такі паралелі допомагають учневі бачити математику як систему, а не набір випадкових формул.

Що робити, якщо дитина знає формулу, але не розуміє задачу?

Почніть не з обчислень, а з малюнка. Попросіть дитину підписати відомі сторони, обвести кут між ними й окремо позначити, що треба знайти. Якщо після цього формула все ще не «вмикається», розберіть один готовий приклад уголос, а потім дайте схожу задачу з іншими числами.

Як підтримати навчання вдома: фрази й міні-чек-лист

Підліткам важливо чути не лише «розв’яжи ще», а й конкретну підтримку. Особливо в темах, де багато формул і легко помилитися в одному знаку.

Приклади фраз підтримки

«Ти вже правильно визначив, які дані відомі. Це половина задачі».
«Помилка в знаку — це не провал, а сигнал ще раз перевірити формулу».
«Поясни мені свій перший крок. Так ти сам побачиш, де стало складно».
«Давай не поспішати з відповіддю, а перевіримо, чи вона має сенс».
«Сьогодні достатньо розібрати один тип задачі добре».

Короткий чек-лист перед відповіддю

Є малюнок трикутника.
Позначено, який кут і яка сторона протилежні.
Обрано правильну формулу.
Косинус кута підставлено правильно.
Квадрати, добутки й корінь пораховано уважно.
Відповідь перевірено на реалістичність.

Якщо дитина навчається за змішаним підходом, можна додати елементи сінгапурської методики: коротке обговорення, роботу в парі, пояснення свого розв’язання іншому. А ще корисно тренувати точність мовлення. Навіть теми на кшталт англійська мова або пряма мова розвивають уміння будувати чіткі висловлювання, а це допомагає й у математичних поясненнях.

FAQ: короткі відповіді про теорему косинусів

Чим теорема косинусів відрізняється від теореми Піфагора?

Теорема Піфагора працює для прямокутного трикутника. Теорема косинусів працює для будь-якого трикутника і враховує величину кута через cos.

Коли краще використовувати теорему синусів?

Коли є відома пара «сторона — протилежний кут» або коли відомі два кути й одна сторона. У таких випадках пропорція із синусами часто коротша.

Чи треба вчити всі три записи формули?

Варто розуміти принцип. Формули однакові за змістом: змінюються лише літери. Якщо учень бачить, яка сторона проти якого кута, він легко запише потрібний варіант.

Як швидко перевірити відповідь?

Перевірте, чи сторона додатна, чи виконується нерівність трикутника, і чи не суперечить відповідь малюнку. Найбільша сторона має лежати навпроти найбільшого кута.

Скільки задач потрібно для закріплення?

Краще розв’язати 5–7 різних задач уважно, ніж 20 однотипних поспіхом. Важливо мати приклади на пошук сторони і на пошук кута.