Пояснити, що таке бісектриса кута, можна так: це промінь із вершини, який ділить кут на два рівні кути. Далі — означення, кроки побудови, розв’язані приклади та підказки для батьків.
Що таке бісектриса кута: означення та позначення
Бісектриса кута — промінь, який виходить із вершини кута й ділить його на два рівні кути. Промінь має початок, але не має кінця.
У записі ∠AOB середня літера O позначає вершину. Якщо OC — бісектриса, то ∠AOC = ∠COB = ∠AOB : 2. Рівні кути на рисунку позначають однаковими дугами.
Побудова бісектриси: два способи
Транспортиром і лінійкою
- Сумістіть центр транспортира з вершиною, а нульову поділку — з однією зі сторін кута.
- Виміряйте кут і поділіть число градусів на 2. Наприклад, 80° : 2 = 40°.
- Від першої сторони всередині кута відкладіть отриману половину за тією самою шкалою транспортира.
- Лінійкою проведіть промінь із вершини через поставлену позначку.
Циркулем і лінійкою
- З центра O проведіть дугу, яка перетне обидві сторони кута. Позначте точки перетину M і N.
- З центрів M і N однаковим розхилом циркуля проведіть дві дуги, що перетнуться всередині кута в точці P. За потреби збільште радіус обох дуг.
- Проведіть промінь OP — це й буде бісектриса.
Чому це працює? OM = ON і MP = NP, а OP — спільна сторона. Трикутники OMP та ONP рівні за трьома сторонами, тому ∠MOP = ∠PON.
Приклади: обчислюємо кути й невідомі
Відомий весь кут
Кут AOB дорівнює 74°, а OC — його бісектриса. Кожна частина становить половину початкового кута: 74° : 2 = 37°.
Відома половина кута
Кут між бісектрисою та однією зі сторін дорівнює 28°. Друга частина також має 28°, тому весь кут дорівнює 28° × 2 = 56°.
Кути задані виразами
Частини кута дорівнюють (3x + 5)° і (5x − 15)°. Якщо їх утворює бісектриса, ці вирази рівні: 3x + 5 = 5x − 15. Маємо 2x = 20, отже x = 10. Кожна половина дорівнює 35°, а весь кут — 70°.
Цей приклад показує, що таке корінь рівняння: значення змінної, за якого рівняння перетворюється на правильну рівність. Тут корінь — 10. Перевірка: 3 × 10 + 5 = 5 × 10 − 15 = 35.
Для самоперевірки: бісектриса ділить кут 126°. Чому дорівнює кожна частина? Відповідь: 63°, адже 126° : 2 = 63°.
Бісектриса трикутника та її властивості
Бісектриса трикутника — відрізок бісектриси його кута від вершини до протилежної сторони. У трикутнику ABC точка D лежить на BC. Якщо ∠BAD = ∠DAC, то AD — бісектриса трикутника.
Щоб не плутати три важливі відрізки, запам’ятайте, що визначає кожен із них:
- Бісектриса ділить кут на два рівні кути.
- Медіана сполучає вершину із серединою протилежної сторони.
- Висота — відрізок перпендикуляра від вершини до прямої, на якій лежить протилежна сторона.
Будь-яка точка бісектриси кута однаково віддалена від двох сторін цього кута. Відстані вимірюють перпендикулярами до сторін, а не вздовж них.
Для задач із довжинами корисна ще одна властивість: BD : DC = AB : AC. Наприклад, якщо AB = 8 см, а AC = 12 см, то BD : DC = 8 : 12 = 2 : 3. Отже, BD і DC не рівні: бісектриса не є медіаною.
Короткий словничок навчальних понять
Не всі навчальні терміни стосуються геометрії. Ось короткі пояснення понять, які також варто розрізняти.
- Частка — результат ділення. У прикладі 74 : 2 = 37 число 37 є часткою.
- Добуток — результат множення. У прикладі 28 × 2 = 56 число 56 є добутком.
- Периметр — сума довжин усіх сторін багатокутника. Для трикутника зі сторонами 3 см, 4 см і 5 см він дорівнює 12 см. Периметр вимірюють в одиницях довжини, а не в градусах.
- Взаємно прості числа — натуральні числа, які мають лише один спільний дільник — 1. Наприклад, 8 і 15. Самі ці числа не обов’язково мають бути простими.
- Логін — ім’я або інший ідентифікатор користувача для входу в обліковий запис, зокрема на навчальній платформі. Його не слід плутати з паролем.
- Приказка — короткий усталений образний вислів, зазвичай без завершеного повчального висновку. Наприклад, «ні риба ні м’ясо».
Підтримка вдома: фрази й короткий чек-лист
Говоріть про конкретний крок, а не про здібності дитини. Можна використати такі фрази:
- «Почнімо з вершини. Покажи її на малюнку».
- «Ти вже знаєш головне: кути мають бути рівними. Який крок наступний?»
- «Помилка підказує, що перевірити. Розберімо цей крок разом».
Короткий чек-лист
- Я знаходжу вершину й сторони кута.
- Проводжу промінь саме з вершини.
- Перевіряю рівність двох отриманих кутів.
- Перевіряю, що їхня сума дорівнює початковому куту.
- Не плутаю поділ кута навпіл із поділом сторони.
Короткі запитання й відповіді
Чи будь-який промінь із вершини є бісектрисою?
Ні. Він має проходити всередині кута й утворювати два рівні кути. Самого початку у вершині недостатньо.
На які частини діляться прямий і розгорнутий кути?
Бісектриса ділить прямий кут 90° на два кути по 45°, а розгорнутий кут 180° — на два кути по 90°.
Скільки бісектрис у трикутнику?
Три — по одній із кожної вершини. Вони перетинаються в одній точці, яка є центром вписаного в трикутник кола.
Дитина плутає бісектрису з медіаною. Що показати?
Намалюйте різносторонній трикутник. Одним кольором позначте бісектрису, яка ділить кут навпіл, іншим — медіану до середини протилежної сторони. Запитайте: що саме поділено порівну? У рівнобедреному трикутнику бісектриса з вершини між рівними сторонами водночас є медіаною й висотою. Тому для першого порівняння краще взяти різносторонній трикутник.
